Материал: 656_Lytkina_D.V._Algebraicheskie_struktury_

9. Евклидовы пространства. Ортонормированный базис

Два вектора x,y U называются ортогональными, если x y 0.

Длина вектора определяется как действительное число, равное квадратному корню из скалярного произведения вектора на себя:

x x x .

Косинус угла между векторами определяется как отношение скалярного произведения к произведению длин векторов:

соответствует матрица Грама – матрица, элементы которой равны скалярному произведению соответствующих базисных векторов:

B ei ej i 1,n . j 1,n

Если матрица Грама для базиса диагональная, то соответствующий базис называется ортогональным.

Если матрица Грама для базиса единичная, то соответствующий базис называется ортонормированным.

Замечание. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису обладает замечательным свойством:

TB' B TB 1`B' TBT B'.

Для вычисления скалярного произведения элементов евклидова пространства в произвольном базисе имеет место формула (упр. 9.3)

x y x B B y B .

При переходе от базиса B к базису B' с матрицей перехода TB B' матрица Грама нового базиса вычисляется по формуле (упр. 9.4)

46

эквивалентный базису B ортогональный базис) и заключается в следующей последовательности действий.

1) В качестве первого вектора ортогонального базиса B e1',e2 ',...,en '

возьмем первый вектор базиса B e1,e2,...,en : e1': e1.

2)Второй вектор подбираем таким образом, чтобы он был ортогонален уже имеющемуся в базисе B вектору e1' и принадлежал линейной оболочке

3)Действуя аналогично, «поворачиваем» следующий вектор базиса B так, чтобы он был ортогонален уже имеющимся в новом базисе векторам и лежал в линейной оболочке e1,e2,e3 (которая по построению совпадает с линейной оболочкой e1',e2 ',e3 ):

31 e1' e3 ,

e1' e1'

32 e2 ' e3 .

e2 ' e2 '

ni ei ' en .

ei ' ei '

векторы, т.е. разделим координаты каждого вектора ei ',i 1,n, базиса B на его длину:

пространстве 3, дополнить до ортогонального базиса, нормировать полученный базис.

Решение. Вычислим скалярное произведение векторов:

следовательно, векторы ортогональны. Вектор, ортогональный данным, удовлетворяет системе условий:

Замечание. В качестве третьего ортогонального вектора всегда можно взять векторное произведение первых двух. █

Пример 2. Найти ортонормированный базис в пространстве многочленов степени не выше 2 над полем , где скалярное произведение определяется формулой

48

1

P(x) Q(x) P(x)Q(x)dx.

0

Решение. В качестве базиса рассмотрим, например, систему многочленов B {1,2x,3x2}. Найдем матрицу Грама для этого базиса:

Базис не ортогональный. Проведем ортогонализацию методом Грама-Шмидта.

1) e1': 1;

1

49

e3o e3' 25 3x2 3x 0,5 . e3'

Сделаем выборочную проверку:

Упражнения и задачи

1

9.2.Доказать неравенство Коши-Буняковского: x y x x y y .

50