Материал: 656_Lytkina_D.V._Algebraicheskie_struktury_

8. Переход в линейном пространстве от базиса к базису

Матрица перехода от базиса B e1,e2,...,en к базису B' e'1,e'2 ,...,en' –

это матрица TB B' , при умножении на которую слева столбца координат любого вектора в базисе B получаем столбец координат этого вектора в базисе

B' .

Имеют место следующие равенства:

1) TB B' e1 B' e2 B' en B' (столбцы матрицы перехода к базису B'

равны столбцам координат векторов базиса B в базисе B' );

2)TB B' x B x B' ;

3)x B TB B' T x B';

4)TB' B e'1 B e'n B ;

5)TB B' TB' B 1.

1 0 0

Пример 1. Найти матрицу перехода от базиса B 0 , 1 , 00 0 1

0 1 1

Решение. В условии задачи координаты векторов базиса В' даны в базисе В, поэтому можно сразу записать матрицу перехода к В' от В, столбцы которой равны векторам В':

Матрицу перехода к В от В' найдем как обратную к TB' B. Используем метод элементарных преобразований строк матрицы (ai – i-я строка матрицы):

41

Решение. В условии задачи координаты векторов обоих базисов В и В'

1 0 0

даны в базисе Bo 0 , 1 , 0 , поэтому можно сразу записать матрицы

0 0 1

перехода от В и В' к Bo.

TB B'TBo B x Bo TBo B' x Bo ,

TB B' TBo B'TB Bo .

Матрица перехода TBo B' найдена в примере 1:

Упражнения и задачи

8.1.Доказать формулы 1)-5).

1 0 0

8.2. Найти матрицу перехода от базиса B 0 , 1 , 00 0 1

1 2 0

1 0 0

8.3. Найти матрицу перехода от базиса B 0 , 1 , 00 0 1

0 3 1

1 0 0 0

8.4.Найти матрицу перехода от базиса B 0 , 1 , 0 , 0

0 0 1 0

0 0 0 1

8.6.Найти матрицу перехода от базиса

44

8.7.Найти матрицу перехода от базиса {1,x,x2,...,xn } к базису

1, x a , x a 2 ,..., x a n .

8.8.Выяснить, как изменится матрица перехода от базиса B к B' , если а) в базисе B поменять местами два вектора?

б) в базисе B' поменять местами два вектора?

в) записать векторы B и B' в обратном порядке?

45