Материал: 656_Lytkina_D.V._Algebraicheskie_struktury_

Смотрите также:

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

9.3.Доказать формулу для вычисления скалярного произведения с помощью

матрицы Грама: x y x B B y B .

9.4.	Доказать,							что			при переходе от		базиса		B		e1,	e2,...,	en к базису
	B'			e',		e',...,			e	'	с матрицей перехода			T		матрица Грама в новом
				1			2		n				TT	B B'
	базисе вычисляется по формуле											B'	TT	T			.
												B'	B B'		B B B'
В задачах 9.5-9.7 проверить ортогональность														векторов в пространстве 3,
дополнить до ортогонального базиса, нормировать полученный базис.
	1				2
9.5.		2			0
9.5.		2	,		0		.
		2
		2			1
			3		2
9.6.			2				3
9.6.			2		,		3	.
							2
	6						2

0 1

9.7. 1 , 0 .

1 0

В задачах 9.8.-9.10. найти матрицу Грама данного базиса.


	1 2 0
9.8.		2						0
				,		0 ,			.
		0
				1 1
	0 3 1
9.9.			0			2		0
					,		,		.
			2			6		0

0 1 0 0

9.10. 1 , 1 , 1 , 0 .

1 1 1 11 0 0 0

В задачах 9.11.-9.13. ортонормировать базис методом Грама – Шмидта

	1 2 0
9.11.		2		0		0
9.11.		2	,	0	,	0	.
		0
		0		1		1

	0 3 1
9.12.		0		2				0
			,			,			.
		2		6				0

	0 1 0 0
		1		1			1			0
9.13.			,		,			,
											.
	1 1 1 1

		1		0 0				0

9.14. Найти матрицу Грама для базиса {1,x,x2} пространства многочленов

степени не более чем 2 (скалярное произведение определяется формулой

P(x) Q(x) P(x)Q(x)dx). Ортогонализовать данный базис.

10. Линейные операторы

Линейный оператор – это функция :U V из линейного пространства

U над полем F M, , в линейное пространство V над этим же полем, такая,

что

(

2) (

x1) (

2),

x1,

2 U,

, F .

Образ линейного оператора – это совокупность образов всех элементов из области определения функции :

(U) v u U : v (u) .

Ядро линейного оператора – это множество всех элементов, образ которых равен нулю:

Ker {x U | (x) 0 V}.


Образ и ядро линейного оператора являются						подпространствами в U
(упр.10.2). Размерность				ядра d( ) dim(Ker )		называется	дефектом
линейного оператора.
Рангом линейного				оператора	называется	размерность	его образа
(U) V .
Рассмотрим линейный оператор n-мерного пространства U: :U U .
Инвариантное подпространство относительно линейного оператора
– это подпространство,				содержащее свой образ. Примерами инвариантных
подпространств являются ядро и образ оператора.
Матрица линейного оператора					AB( ) определяется в зависимости от
базиса B	e1,	e2,...,	en пространства U и имеет вид

AB( ) (e1) B (e2) B... (en) B .

Ранг линейного оператора равен рангу его матрицы (упр. 10.4).

Координаты элемента пространства и его образа в фиксированном базисе B связаны равенствами:

(x) B AB( ) x B,(x) B x B AB( ) T .

При переходе от базиса B e1,e2,...,en к базису B' e'1 ,e'2 ,...,en' с

матрицей перехода TB B' матрица линейного оператора меняется согласно равенству (упр. 10.5)

AB'( ) TB B'AB( ) TB B' 1.

Замечание.	Рассмотрим						неоднородное													уравнение			(			x	) b		или, в
					B				B

матричном виде,	AB( ) x
матричном виде,	AB( ) x						b			. Структуру его общего решения можно
записать в виде	x	x	* Ker( ),								где				x		*–		какое-либо				частное						решение
уравнения.
Пример 1. Записать матрицу линейного оператора проектирования на ось
													1 0							1 0
Ох в пространстве 2 в базисах							B						1 0						и B'				,		.
Ох в пространстве 2 в базисах							B						0	,		1			и B'		1		,	1	.
													0			1					1			1

Решение. Проектирование									задается									формулой				x					x		Найдем
Решение. Проектирование									задается									формулой										.	Найдем
																						y					0
					1 0
образы векторов базиса B							,	1			:
						0		1


				1				1						1				0		0
												1						0		,
						0		0							0					1
				0				0						1				0		0
												0						0		.
						1		0							0					1

Следовательно, в ортонормированном базисе В матрица оператора имеет вид

B' B

B B'

B' B

Найдем матрицу оператора в базисе B':

B B'


1		0 1		0 1 0		1		0 1 0		1		0
	1 1		0	0			1 0				1 0		. █
	1 1		0	0	1 1		1 0		1 1		1 0

Пример 2. Записать матрицу линейного оператора отражения

относительно					плоскости				y x				в	пространстве 3 в базисах
1 0 0								1 1 0

	0		1		0	и			1	,	1	,	0	.
B		,		,			B'
	0		0		1				0		0		1

Решение. Найдем образы базисных векторов:


1				0					1					0							0
		0									0					1						0
					1			0						1				0							;
		0			0						0					0						1

0				1					1						0						0
	1				0							0					1							0
							1							0						0						;
	0				0							0					0							1

		0			0				1					0						0
			0			0		0		0					1						0
													0						1				.
			1			1				0					0						1

Составим матрицу оператора в базисе В:

	0	1	0
A ( )	1	0	0
B				.
	0	0
	0	0	1

Запишем матрицы перехода от B' к B и от B к B':

	1		1	0					1		1	0	T	0,5	0,5	0
								1
TB' B		1	1	0	,	TB' B	1			1	1	0		0,5	0,5	0
																	.
								2
		0								0	0 2			0	0
			0 1													1

Следовательно, AB' TB' B 1 ABTB' B

0,5		0,5	0	0	1	0	1		1	0	1		0	0
	0,5	0,5	0	1	0	0		1	1	0		0	1	0		█
															.
	0	0		0	0			0				0	0
			1			1			0 1					1

Источник: https://studfile.net/preview/16708994/

Найдем матрицу перехода к базису B':

_3 тема - Диффузия
[БИЛЕТЫ] IMK №3
00601
01. Концепция БД
02_ЛР
02. РСЧС_ВСМК_Таблица
05. Частная патология ССС - Инфаркт миокарда
0501 Конунников ЛР10-3
0501_Конунников_ЛР№2
06-20-DatabasesGenomEvolution