Материал: LS-Sb90190

командной строке. В противном случае, при отсутствии знака «;», результат действия команды сразу же выводится в рабочую область.

Одновременно можно открыть несколько окон для создания М-файлов.

Переходить из окна в окно можно, используя выпадающее меню Window или закладки внизу окна «Редактора».

Привести операторы М-файла к выполнению можно несколькими спосо-

бами:

∙вызвать команду Debug > Run из меню редактора М-файлов;

∙воспользоваться клавиатурой и нажать на клавишуF5;

∙набрать имя М-файла в командной строки и нажать Enter;

∙воспользоваться кнопкой .

! Имена сохраняемых М-файлов должны быть написаны латиницей.

Обозначения некоторых переменных, принятые в лабораторных работах

Mx – математическое ожидание случайной величины (СВ) х; mx – оценка математического ожидания случайной величины х; Dx – дисперсия случайной величины х;

dx – оценка дисперсии случайной величины х;

Sx – среднеквадратическое отклонение случайной величины х;

sx – оценка среднеквадратического отклонения случайной величины х;

Me – медиана;

me – оценка медианы;

pd – доверительная вероятность;

u – стандартная нормально-распределенная величина ;

up – квантиль нормального распределения, соответствующий уровню веро-

ятности P;

st – величина распределенная по Стьюденту;

stp – квантиль распределения Стьюдента, соответствующий вероятности Р; hi – случайная величина хи-квадрат;

hip – квантиль величины хи-квадрат, соответствующий вероятности Р; R – коэффициент корреляции;

r – оценка коэффициента корреляции;

N или n – объем выборки/ f /число степеней свободы.

6

Лабораторная работа 1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ОЦЕНОК ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Цель работы: изучение методов доверительного оценивания математического ожидания и дисперсии

Расчет доверительного интервала для математического ожидания при известной дисперсии

Содержание и порядок выполнения работы:

создание массива случайных чисел, распределенных по нормальному закону с известной дисперсией;

расчет точечной оценки математического ожидания;

расчет нижней и верхней границ доверительного интервала;

отображение результата на графике.

Запустите MATLAB. В окне Current Directory определите текущую директорию как D/Student. В данной директории создайте папку с номером группы и фамилией. Это можно сделать, кликнув правой кнопкой мыши на поле Current Directory и выбрав из контекстного меню New Folder (рис. 1.1).

В созданную папку должны записываться создаваемые программы, а также полученные результаты (графики и файлы с данными)по лабораторным работам.

Откройте окно «Редактора».

1. Создайте массив из n случайных чисел, распределенных по нормальному закону распределения, с заданным математическим ожиданием и дисперсией.

Используйте команду normrnd(Mx,Sx,n,1), где Mx – математическое ожидание СВ х; Sx = Dx , где Dx – дисперсия х; n – размер массива. Значения n, Mx и Dx задаются преподавателем.

n=; %размер массива

Mx= ;%математическое ожидание

Dx= ;%дисперсия

Sx=sqrt(Dx);

x=normrnd(Mx,Sx,n,1);

7

2. Для расчета точечной оценки математического ожидания используйте команду mean(х).

mx=mean(x);

3. Рассчитайте границы интервала по формулам: ex1 = mx – ε – нижняя граница,

ex2 = mx + ε – верхняя граница,

где ε = Dx ; up – квантиль из таблицы нормального распределения на n

уровне вероятности P для доверительных вероятностей pd 0,8; 0,9; 0,95 (см. приложение).

При заданной доверительной вероятности pd, уровень вероятности Р для поиска квантилей up можно найти как P = (1+ pd)/2.

Запишите команды

ex1=mx–up*sqrt(Dx/n);

ex2=mx+up*sqrt(Dx/n).

4. Отображение результата на графике производится с помощью коман-

ды plot.Запишите команду

plot(ex1, i, ‘rh’).

Эта команда рисует точку с координатами [ex1; i], соответствующую значению нижней границы интервала на горизонтальной оси, и выделяет ее символом «красная звездочка». Задайте i = 1, где i – порядковый номер доверительного интервала.

Для сохранения изображения запишите команду hold on. Далее по аналогии строится отметка, соответствующая верхней границе интервала.

Отобразите также оценку математического ожидания mx, использовав обозначение «gh» – зеленая звездочка.

Сохраните полученный M-файл под именем Work1_1. Запустите программу кнопкой .

Сохраните полученный рисунок как ris1_1, выбрав File\SaveAs.

Сравнение оценок доверительных интервалов для математического ожидания при повторении экспериментов с сохранением объемов выбор-

ки. Такое сравнение можно осуществить путем создания повторяющегося цикла результатов вышеуказанного эксперимента.

Для создания повторяющихся циклов используется команда for…end.

8

Например, для сравнения интервальных оценок математического ожидания для 10 разных массивов можно использовать следующую программу:

n= ; %размер массива

Mx= ; %математическое ожидание

Dx= ;% дисперсия

Sx=sqrt(Dx); up= ;% квантиль fori=1:10;

x=normrnd(Mx,Sx,n,1);

mx=mean(x);

plot(mx,i,‘gh’); hold on; ex1=mx-up*sqrt(Dx/n); ex2=mx+up*sqrt(Dx/n); plot(ex1, i,'rh') hold on;

plot(ex2, i,'rh'); end

Сохраните полученный М-файл как Work1_2 и запустите программу. Для удобного восприятия полученных ре-

зультатов постройте на графике координатную сетку. Один из вариантов построения такой сетки:

For i=1:Т;%Т количество линий plot ([Xн Xк], [Yн Yк]);%

где Xн, Xк – координаты начала и конца ли-

нии по оси х; Yн, Yк – координаты начала и

Добавьте команды построения сетки в М-файл Work1_2, настроив изображение сетки в соответствии с полученными результатами.

Постройте вертикальную линию, показывающую на графике величину математического ожидания:

plot([Mx Mx], [0 i]);

hold on;

end

Выделите добавленные строки и нажмите «F9». На рисунке добавится сетка. При запуске программы получим график, представленный на рис. 1.2. Сохраните полученный М-файл и рисунок (как ris1_2).

9

Расчет доверительного интервала математического ожидания при неизвестной дисперсии

Содержание и порядок выполнения:

Создание массива случайных чисел, распределенных по нормальному закону.

Расчет точечной оценки дисперсии.

Расчет нижней и верхней границ доверительного интервала

Отображение результата на графике.

1.Создайте массив из n случайных чисел, распределенных по нормальному закону распределения, аналогично п. 1 нa с. 7.

2.Считая дисперсию х неизвестной, найти точечную оценку дисперсии с помощью команды var(x)

dx=var(x)

3.Расчет границ доверительного интервала производится аналогично п. 3 на с. 8 c учетом того, что вместо дисперсии Dx нужно использовать оценку дисперсии dx, а вместо квантиля up нужно использовать квантиль stp из таблиц распределения Стьюдента, в соответствии с заданной доверительной вероятностью (см. приложение).

4.Отображение результатов на графике аналогично п. 4 на с. 8. Сохраните полученный M-файл под именем Work1_3.

Расчет и построение доверительного интервала дисперсии

Нахождение доверительного интервала дисперсии основано на известной в теории вероятностей зависимости Dx = dx (f/hi), где случайная величина hi (xи-квадрат) имеет число степеней свободы f = n – 1.

При заданной преподавателем доверительной вероятности pd уровни вероятностей для поиска квантилей величины xи-квадрат можно найти как

P1 = (1 – pd)/2 – нижний уровень, P2 = (1 + pd)/2 – верхний уровень.

Зная число степеней свободы, по таблице xи-квадрат распределения (см. приложение) нужно найти нижний hip1 и верхний hip2 квантили для xиквадрат. Тогда границы доверительного интервала для дисперсии можно найти следующим образом:

Dx1 = dx (f/hip2) – нижняя граница, Dx2 = dx (f/hip1) – верхняя граница.

10