Материал: LS-Sb90190

Тогда шаблон программы поиска доверительного интервала для дисперсии можно представить в виде

Mx=…;%задается преподавателем

Dx=…;%задается преподавателем n=…;%задается преподавателем

x=normrnd(Mx,Sx,n,1);%создается выборка объема n dx=var(x);%оценка дисперсии

pd= ;% задается преподавателем

P1=(1-pd)/2;

P2=(1+pd)/2;

hip1=;

hip2=…; Dx1=dx*(n-1)/hip2; Dx2=dx*(n-1)/hip1;

Графики для одной выборки и для цикла выборок создаются аналогично графикам доверительных интервалов для математического ожидания. На графике для каждой выборки нужно отметить оценку дисперсии, а также верхнюю и нижнюю границы доверительного интервала. При построении вертикальной прямой (в цикле) вместо Mx нужно провести линию через Dx. Сохраните полу-

ченные М-файлы как Work1_4 и Work1_5, а рисунки как ris1_4 и ris1_5.

В отчете по лаб. раб. 1 должны быть:

графики доверительных интервалов для математического ожидания при известной и неизвестной дисперсии;

график доверительных интервалов для дисперсии;

квантили из таблиц нормального распределения, распределения Стьюдента и распределения хи-квадрат на уровне соответствующих вероятностей.

Контрольные вопросы

1.Что такое выборка(выборочная совокупность) и какими свойствами она обладает?

2.Что такое доверительный интервал?

3.По каким формулам производится оценка математического ожидания и оценка дисперсии?

4.Какие размерности имеют:

–математическое ожидание и дисперсия СВ?

–оценки математического ожидания и дисперсии СВ?

5. Как меняется доверительный интервал с изменением доверительной вероятности?

11

Лабораторная работа 2

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О НЕЗАВИСИМОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Цель работы: приобретение практических навыков по статистической обработке результатов наблюдений, проверка гипотезы о независимости результатов наблюдений с помощью критерия знаков (серий) и тренда.

Содержание и порядок выполнения работы

Задание: проверить гипотезу о независимости результатов наблюдений с помощью критерия знаков (серий) и критерия тренда двумя способами:

самостоятельно выполнить необходимые вычисления на листе;

применить программные средства.

Последовательность действий для самостоятельного решения при-

мера с использованием критерия знаков.

1.Последовательность случайных чисел задается преподавателем.

2.Для заданной последовательности построить вариационный ряд и найти оценку медианы. Если объем выборки четный, оценка медианы равна полусумме двух средних чисел вариационного ряда, если нечетный – среднему числу вариационного ряда.

3.Сравнивая каждый результат заданной последовательности случайных чисел с медианой, получить последовательность знаков «+» или «–» ( ес-

ли xi ≥ me, то «+», если xi < me, то «–»).

4.Найти количество серий r0, где под каждой серией понимается после-

довательность случайных величин одного и того же знака.

Например, если последовательность из восьми случайных чисел (n = 8), переведенная в последовательность знаков, получилась в виде

то количество серий r0 в этой последовательности равно пяти. Каждая серия отличается от предыдущей знаком.

5. Для заданного уровня значимости α найти по таблице критических то-

чек случайной величины распределения серий значения r1 и r2, где r1 и r2 –

квантили случайной величины r0 (количества серий) для уровней вероятно-

12

сти P1 = α/2 и Р2 = 1 – α/2 соответственно. Гипотеза о независимости случай-

ных величин принимается, если r1 < r0 ≤ r2, в противном случае – отвергается.

Последовательность действий для самостоятельного решения примера с использованием критерия тренда. Сравнить каждое число последо-

вательности xi со всеми остальными xj, где j = i + 1, i = 2, ..., N ; (i < j ). Каж-

дое сравнение называется инверсией (qij). Если xi > x j то qij = 1, если xi < x j

то qij = 0.

Тогда количество инверсий i-го результата определяется суммой полу-

ченных инверсий qij:

ласть принятия гипотезы. Следовательно, по этому критерию гипотеза о не-

зависимости последовательности результатов измерений принимается.

Построить график зависимости значения случайной величины от поряд-

кового номера этой величины.

Последовательность действий для решения примера с использова-

нием программы MATLAB для критерия знаков. Полученные при ручном расчете данные необходимо проверить, создав программу с использованием

MATLAB. Для этого можно использовать шаблон M-файла Work2_1.

Полученный результат сравнить с результатами ручного расчета.

Сделать вывод о независимости данной последовательности.

Последовательность действий для решения примера с использова-

нием программы MATLAB для критерия тренда (инверсий). Полученные

13

при ручном расчете данные необходимо проверить, создав программу с ис-

пользованием MATLAB.

Для этого можно использовать шаблон M-файла Work2_2. Полученный результат сравнить с результатами ручного расчета. Сделать вывод о независимости данной последовательности.

Отчет по лаб. раб. 2 должен содержать:

статистический ряд,

результаты ручного расчета,

график зависимости значения случайной величины от порядкового номера этой величины,

квантили критических точек распределения серий и распределения инверсий,

выводы о независимости рассмотренной последовательности.

Контрольные вопросы

1.Что называется уровнем значимости и мощностью критерия?

2.Что такое ошибки первого и второго рода при использовании вероятностных критериев?

3.Дайте определение: вариационного ряда, статистического ряда.

4.При выявлении каких зависимостей критерий знаков (серий) имеет большую мощность?

5.При выявлении каких зависимостей критерий тренда имеет большую мощность?

Лабораторная работа 3

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

И ЕГО ИДЕНТИФИКАЦИЯ

Проверка гипотезы о нормальном законе распределения с помощью критерия согласия χ2

Содержание и порядок выполнения работы:

1.Создание массива (выборки) случайных чисел х, распределенных по нормальному закону. Объем выборки N задается преподавателем.

2.Определение размаха случайных чисел выборки: R = xmax – xmin.

3.Определение ширины интервала для заданного преподавателем количества разрядов q: I = R/q.

14

4.Определение границ разрядов: xj = xmin + (j – 1) I – левая граница,

xj+1 = xmin + jI – правая граница, где j – номер разряда.

Правая граница последнего разряда всегда принимается равной xmax.

5.Определение количества случайных чисел nj, попавших в каждый разряд и эмпирической вероятности рj = nj /N.

6.Вычисление оценок математического ожидания mx и среднеквадратического отклонения sx.

7.Вычисление теоретических вероятностей попадания случайных чисел в каждый разряд. Для этого необходимо:

a)левую границу первого разряда условно считать равной «– ∞»;

б) правую границу последнего разряда условно считать равной «+∞»;

в) все остальные границы xj перевести в центрированную и нормирован-

ную форму:

U j = x j − mx ; sx

г) определение для каждого значения квантиля Uj соответствующего ему значения функции распределения Fj;

д) для каждого разряда найти теоретическую вероятность попадания в него Pj = Fj + 1 – Fj. Вероятность Fj, соответствующая левой границе первого разряда, всегда равна нулю. Вероятность Fj, соответствующая правой грани-

q

це последнего разряда, всегда равна единице. Проверить, что ∑ P j = 1 . j =1

деление χ2 с числом степеней свободы f = q – 3.

9.Нахождение по таблице квантилей хи-квадрат критической точки

χ2f ,α сравнение ее с χ02 и заключение о результатах идентификации закона

распределения по критерию хи-квадрат. Уровень значимости критерия α задается преподавателем.

10. Запустите MATLAB и откройте М-файл Work3. Запустите программу. В результате будет получена гистограмма и теоретическая плотность вероятности.

15