Материал: ShashenkoSzdvigkovaGapeev_monograf

Р

АЗДЕЛ

 

1 

 

 10

счет

 

микродефектов

. 

Эти

 

микродефекты

 (

трещины

) 

неизбежно

, 

по

 

разным

 

при

-

чинам

, 

присутствуют

 

в

 

исходном

 

материале

. 

В

 

осадочных

 

породах

, 

например

, 

их

 

наличие

 

связано

 

с

 

генезисом

 

и

 

последующим

 

метаморфизмом

. 

Разрыв

 

путём

 

растяжения

 

межатомных

 

связей

 

в

 

твердом

 

теле

 

требует

 

на

-

личия

 

напряжения

 

порядка

 0,2

Е

, 

где

 

Е

 – 

модуль

 

упругости

 

материала

. 

Реальные

 

же

 

хрупкие

 

тела

 

разрушаются

 

при

 

напряжениях

, 

равных

, 

примерно

, 0,002

Е

. 

Идея

 

А

.

А

. 

Гриффитса

 

состояла

 

в

 

том

, 

что

 

действующие

 

напряжения

 

от

 

внеш

-

них

 

нагрузок

 

многократно

 

увеличиваются

 

благодаря

 

концентрации

 

напряжений

 

на

 

кончиках

 

микродефектов

 – 

трещин

. 

Для

 

решения

 

поставленной

 

задачи

 

им

 

был

 

применен

 

энергетический

 

под

-

ход

, 

который

 

имеет

 

тот

 

недостаток

, 

что

 

в

 

случае

 

трещины

 

с

 

притупленными

 

краями

 

дает

 

условие

, 

которое

 

является

 

необходимым

, 

но

 

не

 

достаточным

 

для

 

перемещения

 

трещины

. 

В

 

этой

 

связи

 

позже

 

Эллиотом

 

и

 

Г

.

И

. 

Баренблаттом

 

бы

-

ло

 

показано

, 

что

 

кончик

 

трещины

 

А

.

А

. 

Гриффитса

 

должен

 

быть

 

максимально

 

заострен

, 

тогда

 

перемещение

 

трещин

 

становится

 

возможным

. 

При

 

этом

 

очень

 

существенным

 

обстоятельством

 

являет

 

способ

 

нагружения

 

твердого

 

тела

: 

заданная

 

деформация

 

или

 

заданная

 

нагрузка

. 

В

 

первом

 

случае

 

продвижение

 

трещины

 

приводит

 

к

 

высвобождению

 

энергии

 

упругой

 

деформа

-

ции

, 

которая

 

покрывает

 

дополнительную

 

поверхностную

 

энергию

. 

Во

 

втором

 

случае

 

появление

 

трещины

 

вызывает

 

удлинение

 

образца

 

и

 

дополнительная

 

ра

-

бота

, 

совершаемая

 

постоянной

 

нагрузкой

 

при

 

таком

 

удлинении

, 

покрывает

 

при

-

рост

 

поверхностной

 

энергии

 

и

 

энергии

 

деформации

. 

А

.

А

. 

Гриффитс

 

рассмотрел

 

второй

 

случай

, 

как

 

явно

 

приводящий

 

к

 

разру

-

шению

 

образца

 

при

 

приложении

 

некоторых

 

критических

 

нагрузок

. 

Пусть

 

образец

 

с

 

сечением

 

в

 

единицу

 

площади

 

и

 

длиной

 

Y

 

испытывает

 

про

-

дольное

 

растяжение

 

внешней

 

нагрузкой

 

Р

, 

порождающей

 

напряжения

 

σ

. 

В

 

дан

-

ном

 

случае

 

Р

 = 

σ

. 

Тогда

 

энергия

 

упругой

 

деформации

 

образца

 

будет

 

равна

 

E

Y

2

2

σ

. 

Если

 

образец

 

содержит

 

трещину

, 

которая

 

расположена

 

перпендику

-

лярно

 

к

 

линии

 

действия

 

силы

 

и

 

имеет

 

длину

 2

с

, 

то

 

образец

 

удлинится

, 

что

 

на

 

Ф

ИЗИЧЕСКИЕ

 

ОСНОВЫ

 

ПРОЧНОСТИ

 

И

 

РАЗРУШЕНИЯ

 

ТВЕРДЫХ

 

ТЕЛ

 

 

 11

основе

 

решения

 

Инглиса

, 

увеличит

 

энергию

 

деформации

 

на

 

Е

с

2

2

πσ

. 

Таким

 

образом

, 

полная

 

энергия

 

деформации

 

станет

 

равной

  

(

)

2

2

2

2

2

2

2

2

c

Y

E

E

c

E

Y

π

σ

πσ

σ

+

=

+

. 

   (1.1) 

Из

 

выражения

 (1.1) 

следует

, 

что

 

эффективный

 

модуль

 

упругости

 

образца

 

с

 

трещиной

 

равен

 

(

)

2

2

c

Y

YE

π

+

. 

Трещина

 

также

 

привносит

 

поверхностную

 

энер

-

гию

 

γ

c

Y

=

, 

где

 

γ

 – 

удельная

 

поверхностная

 

энергия

. 

Работа

 

ω

, 

совершаемая

 

напряжением

 

σ

 

при

 

удлинении

 

образца

, 

вызван

-

ном

 

появлением

 

трещины

, 

равна

 

(

)

ε

ε

σ

ω

−

=

c

Y

,   

 

 

 

 

 

где

 

ε

 – 

относительная

 

продольная

 

деформация

 

образца

 

при

 

отсутствии

 

трещи

-

ны

, 

а

 

c

ε

 – 

то

 

же

, 

но

 

после

 

появления

 

трещины

. 

Следовательно

 

E

c

E

YE

c

Y

Y

2

2

2

2

2

1

2

πσ

π

σ

ω

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+

=

. 

   (1.2) 

Энергетический

 

критерий

 

разрушения

 

требует

, 

чтобы

 

работа

, 

совершаемая

 

действующим

 

напряжением

 

при

 

увеличении

 

длины

 

трещины

, 

была

 

достаточ

-

ной

 

для

 

покрытия

 

соответствующего

 

увеличения

 

поверхностной

 

энергии

 

и

 

энергии

 

упругой

 

деформации

. 

Таким

 

образом

, 

разрушающее

 

напряжение

 

опре

-

делится

 

следующим

 

соотношением

: 

(

) (

)

dc

E

c

E

c

d

dc

E

c

d

p

p

1

2

2

1

1

2

2

4

2

−

−

−

+

=

πσ

γ

πσ

, 

 

 

 

 

откуда

 

5

,

0

2

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

c

E

p

π

γ

σ

.   

 

 

 

(1.3) 

Р

АЗДЕЛ

 

1 

 

 12

Выражение

 (1.3) 

и

 

есть

 

основное

 

соотношение

 

А

.

А

. 

Гриффитса

 

в

 

условиях

 

плоского

 

напряженного

 

состояния

. 

Для

 

случая

 

плоской

 

деформации

 

выражение

 

(1.3) 

примет

 

вид

  

(

)

5

,

0

2

1

2

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

c

E

p

π

ν

γ

σ

. 

   (1.4) 

Основные

 

элементы

 

энергетического

 

баланса

 

при

 

образовании

 

трещины

 

в

 

растягиваемом

 

образце

 

представлены

 

на

 

рис

. 1.2. 

При

 

отсутствии

 

тре

-

щины

 

образец

 

получает

 

относительное

 

удлинение

 

A

ε

, 

чему

 

соответствует

 

на

-

пряжение

 

p

σ

. 

При

 

образо

-

вании

 

трещины

 

относи

-

тельное

 

удлинение

 

увели

-

чивается

 

до

 

B

ε

 

при

 

посто

-

янном

 

напряжении

 

p

σ

. 

Полная

 

работа

, 

совершае

-

мая

 

приложенным

 

напряжением

 

при

 

образовании

 

трещины

, 

численно

 

равна

 

площади

 

прямоугольника

 

АВСД

. 

При

 

этом

 

увеличение

 

упругой

 

энергии

 

соот

-

ветственно

 

равно

 

разности

 

площадей

 

треугольников

 

ОВС

-

ОАД

=0,5

АВСД

. 

Та

-

ким

 

образом

, 

на

 

покрытие

 

прироста

 

поверхностей

 

энергии

 

идет

 

также

 0,5

АВСД

. 

В

 

случае

 

же

 

заданной

 

деформации

 

действующее

 

напряжение

 

упало

 

бы

 

по

-

сле

 

образования

 

трещины

 

до

 

величины

 

'

p

σ

. 

При

 

этом

 

в

 

пределе

 

для

 

малого

 

при

-

ращения

 

длины

 

трещины

 

уменьшение

 

энергии

 

деформации

, 

численно

 

равное

 

площади

 

треугольника

 

ОЕД

, 

равно

 

увеличению

 

упругой

 

энергии

 (

треугольник

 

ОСД

) 

при

 

постоянном

 

напряжении

. 

Во

 

время

 

роста

 

трещины

 

при

 

постоянной

 

деформации

 

приложенное

 

напряжение

 

не

 

совершает

 

никакой

 

работы

. 

Таким

 

образом

, 

критерий

 

начала

 

роста

 

трещины

 

вновь

 

дается

 

выражением

 (1.3). 

Од

-

Рис

. 1.2. 

Связь

 

напряжений

 

и

 

деформаций

 

при

 

наличии

 

трещины

 

в

 

растягиваемом

 

образце

 

Ф

ИЗИЧЕСКИЕ

 

ОСНОВЫ

 

ПРОЧНОСТИ

 

И

 

РАЗРУШЕНИЯ

 

ТВЕРДЫХ

 

ТЕЛ

 

 

 13

нако

 

падение

 

напряжения

 

со

 

временем

 

приведёт

 

к

 

остановке

 

трещины

. 

Для

 

ее

 

дальнейшего

 

роста

 

необходимо

 

приложить

 

новую

 

порцию

 

деформации

 

A

ε

′

, 

за

-

тем

 

ещё

 

одну

 

A

ε

′′

 

и

 

так

 

до

 

полного

 

исчерпания

 

несущей

 

способности

 

образца

. 

Позднее

 

Е

. 

Орован

 

предложил

 

силовой

 

критерий

 

разрушения

. 

В

 

его

 

моде

-

ли

 

радиус

 

кривизны

 

у

 

кончика

 

трещины

 

равен

 

атомному

 

размеру

 

а

. 

В

 

этом

 

слу

-

чае

 

максимальное

 

растягивающее

 

напряжение

 

равно

 

( )

5

,

0

2

a

c

σ

. 

При

 

разруше

-

нии

 

эта

 

величина

 

должна

 

быть

 

равна

 

теоретической

 

прочности

, 

величина

 

кото

-

рой

 

составляет

 

5

,

0

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

a

E

γ

. 

Отсюда

 

следует

 

5

,

0

4

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

c

E

p

γ

σ

,   

 

 

 

(1.5) 

что

 

очень

 

близко

 

к

 

формуле

 (1.3), 

полученной

 

А

.

А

. 

Гриффитсом

. 

В

 

отличие

 

от

 

энергетического

 

критерия

 

А

.

А

. 

Гриффитса

, 

силовой

 

критерий

 

Е

. 

Орована

 

явля

-

ется

 

не

 

только

 

необходимым

, 

но

 

и

 

достаточным

 

для

 

перемещения

 

трещины

. 

Поскольку

 

30

Ea

≈

γ

, 

то

 

обычно

 

наблюдаемые

 

значения

 

прочности

, 

равные

 

примерно

  500

E

, 

можно

 

объяснить

, 

исходя

 

из

 (1.3), 

наличием

 

трещин

 

в

 

твердых

 

телах

 

длиной

 2

с

=10

-6

 

м

.  

Для

 

удобства

 

математического

 

описания

 

микродефекты

 

у

 

А

.

А

. 

Гриффитса

 

имели

 

форму

 

узких

 

эллипсов

, 

хотя

 

физически

 

более

 

правильно

, 

по

 

мнению

 

П

.

А

. 

Ребиндера

, 

предполагать

 

плавное

 

смыкание

 

стенок

 

трещин

. 

Соображения

 

П

.

А

. 

Ребиндера

 

о

 

форме

 

трещин

 

были

 

развиты

 

в

 

работах

 

Я

.

И

. 

Френкеля

 [12]. 

Я

.

И

. 

Френкель

 

ввел

 

понятие

 

минимума

 

энергии

, 

полученной

 

телом

 

от

 

дей

-

ствия

 

внешних

 

сил

, 

необходимой

 

для

 

роста

 

трещин

. 

Г

.

И

. 

Баренблатту

 [13] 

принадлежит

 

гипотеза

 

о

 

постоянстве

 

формы

 

устья

 

трещины

. 

А

.

Ф

. 

Иоффе

 [14], 

производя

 

опыты

 

с

 

каменной

 

солью

, 

установил

, 

исходя

 

из

 

предположения

 

А

.

А

. 

Гриффитса

, 

что

 

наиболее

 

опасными

 

являются

 

микро

-

трещины

, 

расположенные

 

на

 

поверхности

 

нагружаемого

 

объекта

. 

Растворяя

 

эти

 

Р

АЗДЕЛ

 

1 

 

 14

дефекты

 

в

 

воде

, 

ему

 

удалось

 

получить

 

прочность

 

на

 

разрыв

 

кристаллов

 

камен

-

ной

 

соли

, 

близкую

 

к

 

теоретической

. 

А

.

В

. 

Степанов

 [15, 16] 

внес

 

в

 

эти

 

представления

 

поправку

, 

согласно

 

кото

-

рой

 

поверхностные

 

трещины

 

становятся

 

опасными

 

только

 

в

 

том

 

случае

, 

если

 

они

 

встречаются

 

с

 

выходом

 

кристаллографического

 

сдвига

, 

который

 

всегда

 

предшествует

 

распространению

 

трещины

. 

Существенное

 

развитие

 

микродефектная

 

теория

 

разрушения

 

твердых

 

тел

 

получила

 

в

 

работах

 

А

. 

Смекала

 

и

 

его

 

школы

 [17], 

а

 

также

 

Е

. 

Орована

 [18]. 

В

 

работах

 

Дж

. 

Р

. 

Ирвина

 [19] 

критерий

 

прочности

 

А

.

А

. 

Гриффитса

 

полу

-

чил

 

эквивалентную

 

формулировку

 

в

 

виде

 

так

 

называемсого

 

силового

 

критерия

. 

Им

 

же

 

введено

 

понятие

 

вязкости

 

разрушения

 

и

 

коэффициента

 

интенсивности

 

напряжений

, 

которые

 

связаны

 

зависимостью

 [20], 

аналогичной

 

известной

 

фор

-

муле

 

А

.

А

. 

Гриффитса

. 

Учет

 

пластической

 

деформаций

 

в

 

теории

 

А

.

А

. 

Гриффитса

 

был

 

независимо

 

предложен

 

Дж

. 

Р

. 

Ирвином

, 

Е

. 

Орованом

 

и

 

позднее

 

рассматривался

 

А

. 

Котрел

-

лом

 [19]. 

В

 

этих

 

работах

 

поверхностная

 

энергия

 

упругого

 

тела

 

заменена

 

на

 

бо

-

лее

 

реальную

 

для

 

разрушения

 

величину

 

удельной

 

энергии

 

поверхности

, 

учиты

-

вающую

 

пластическую

 

деформацию

 

у

 

кончика

 

трещины

. 

Эти

 

рассуждения

 

позже

 

были

 

развиты

 

А

. 

Кобаяси

 

и

 

др

. [21]. 

Сведения

 

о

 

модификациях

 

представ

-

лений

 

А

.

А

. 

Гриффитса

 

о

 

разрушении

 

твердых

 

тел

 

содержатся

 

также

 

в

 

работах

 

[22-28]. 

Свои

 

умозаключения

 

относительно

 

ослабляющего

 

влияния

 

микродефектов

 

на

 

прочность

 

твердых

 

тел

 

А

.

А

. 

Гриффитс

 

воплотил

 

в

 

стройную

 

теорию

, 

соста

-

вившую

 

основу

 

дальнейших

 

исследований

 

в

 

области

 

так

 

называемых

 

микроде

-

фектных

 

теорий

 

прочности

. 

Критерий

 

А

.

А

. 

Гриффитса

, 

пользуясь

 

которым

 

можно

 

определить

, 

про

-

изойдет

 

или

 

не

 

произойдет

 

разрушение

 

твердого

 

тела

, 

имеет

 

вид

 [29]: 

(

)

(

)

0

8

1

3

2

3

1

=

+

+

−

σ

σ

σ

σ

p

R

, 

если

    

0

3

1

3

>

+

σ

σ

,   (1.6) 

p

R

=

3

σ

, 

если

 

0

3

1

3

<

+

σ

σ

. 

   (1.7)