Материал: Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление. методические указания и задания по математике. Дементьева А.М., Акчурина Л.В

Угол между прямыми и равен углу между их направляющими векторами , : .

Угол между плоскостью и прямой определяется формулой .

Расстояние от точки до плоскости определяется по формуле: .

Канонические уравнения поверхностей 2-го порядка

1. Сфера: ;

2. Эллипсоид: (рис. 6) ;

3. Гиперболоид однополостный: (рис. 7);

4. Гиперболоид двуполостный: (рис. 8);

5. Параболоид эллиптический: (рис. 9);

6. Параболоид гиперболический (седло): (рис. 10);

7. Конус: (рис. 11);

8. Если в уравнении поверхности отсутствует одна из переменных (например, z), то поверхность является цилиндрической в направлении оси Oz: в сечении этой поверхности любой плоскостью z=const получается одна и та же кривая (направляющая цилиндрической поверхности). Если направляющей кривой в плоскости является эллипс , то поверхность называется эллиптическим цилиндром (рис. 12), а если гипербола , то гиперболическим цилиндром (рис. 13), и т.д. Уравнения направляющих могут быть написаны и в других координатных плоскостях.

Рис. 6 Рис. 7

Рис. 8 Рис. 9

Рис. 10 Рис. 11

Рис. 12 Рис. 13

Дифференциальное исчисление

Производная функции у=f(x) в точке х₀ есть предел отношения при х0, где х= – приращение аргумента, а у= f(x)-f(x₀) – приращение функции (рис. 14). Для производной функции у=f(x) в точке х используют обозначения , , .

С точки зрения механики, производная V(t)= функции перемещения S=S(t) есть мгновенная скорость материальной точки в момент времени t.

Геометрически производная определяет тангенс угла наклона касательной к графику функции у=f(x) в точке с абсциссой х₀ к оси .

Функция, у которой существует производная, называется диффе-ренцируемой, а операция вычисления производной – дифференцированием.

Таблица производных основных элементарных функций и правил дифференцирования

Уравнение касательной к графику функции у=f(x) в точке (х₀, f(x₀)) имеет вид

y= f(x₀)+ (x- х₀),

а уравнение нормали ( )

у= f(x₀)- (x- х₀). (см. рис. 15).

Связь знака производной функции с возрастанием (убыванием) функции:

если на интервале (а,b) >0, то возрастает на этом интервале;

если на интервале (а,b) <0, то убывает на этом интервале;

если на интервале (а,b) =0, то =сonst на этом интервале.

Необходимое условие экстремума функции f(x) в точке х= : или не существует.

Достаточные условия экстремума функции f(x) в точке х= : если непрерывна в точке , дифференцируема в некоторой окрестности (кроме, может быть, точки ) и при переходе через точку производная меняет знак, то точка является точкой экстремума, причем:

а) если <0 слева от точки , >0 справа от точки , то - точка минимума;

b) если >0 слева от точки , <0 справа от точки , то -точка максимума.

Г рафик функции f(x) называется выпуклым вверх (выпуклым) в окрестности точки , если вблизи этой точки любая касательная к графику расположена выше самого графика (рис. 16), и выпуклым вниз (вогнутым), если вблизи этой точки любая касательная к графику расположена ниже самого графика (рис. 17). Точка графика функции, разделяющая участки выпуклости и вогнутости графика, называется точкой перегиба графика.

у=f(х) у х 0 х0 Рис.16

у=f(х) х у 0 х0 Рис.17

Связь знака с выпуклостью (вогнутостью) графика функции:

если на интервале (а,b) >0, то график вогнутый на этом интервале;

если на интервале (а,b) <0, то график выпуклый на этом интервале.

Необходимое условие перегиба функции f(x) в точке графика при х= : или не существует.

Достаточные условия перегиба функции f(x) в точке графика при х= : если непрерывна в точке , имеет вторую производную в некоторой окрестности (кроме, может быть, точки ) и при переходе через точку производная меняет знак, то точка является точкой перегиба.

Точки, в которых производные , не определены или обращаются в ноль, называются критическими точками.

Для построения графика функции проводят ее исследование по схеме:

1. нахождение области определения функции;

2. нахождение точек пересечения графика функции у=f(x) с осями координат;

3. выяснение четности, нечетности функции, периодичности;

4. определение точек возможного экстремума функции;

5. определение точек возможного перегиба функции;

6. составление таблицы, в которую включаются все критические точки функции; проверяются достаточные условия экстремума и перегиба функции; определяются участки монотонности функции и интервалы выпуклости (вогнутости) графика;

7. построение графика функции.