Материал: Анализ таблиц истинности логических выражений
Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам
, откуда сразу следует, что есть единственная пара остальных переменных, удовлетворяющих условию задачи: y = 1, z = 0, и вторая строка олжна быть копией первой (второй подходящей пары y , z нет!), что противоречит условию
Решение (построение части таблицы истинности, С.В. Логинова):
-
это значит, что x – это не первый, а второй столбец:
?
x
?
F
1
0
0
0
2
0
0
-
если при этом предположить, что первый столбец – это y, то в первой строке получаем
(при любом z!), что противоречит условию; поэтому первый столбец – это z, а третий – y -
на всякий случай проверяем первую строку:
справедливо при y = 1 -
во второй строке условие
справедливо при x = 1 и y = 1 (что отличается от варианта в первой строке значением x) -
Ответ: zxy.
Решение (построение части таблицы истинности, С.В. Логинова):
-
По свойству импликации функция имеет значение 0 тогда, когда в первой скобке получится 0, а во второй 1. Из этого следует что возможные сочетания для переменных x и y равны 01, 10, 11. -
Вторая скобка равна 0, если y и z имеют разные значения. -
Составим таблицу истинности для всех возможных вариантов.
x
y
z
F
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
-
Из получившейся таблицы истинности мы видим, что только одна строка этой таблицы содержит 2 нуля и одну 1 в исходных данных. Эта единица – переменная y, значит третий столбец y. Среди столбцов только один содержит два нуля – столбец z. Отсюда следует, что первый столбец – z. -
Ответ: zxy
Решение (метод исключения, С.Н. Лукин, г. Москва):
-
всего возможно 6 вариантов решения задачи:
| x | y | z |
| x | z | y |
| y | x | z |
| y | z | x |
| z | x | y |
| z | y | x |
В процессе решения будем вычеркивать лишние варианты, пока не останется один-единственный. Также будем по возможности заполнять пустые клетки таблицы (по принципу «Чем меньше неопределенностей, тем лучше»).
-
используем следующее свойство импликации: выражение ab равно нулю тогда и только тогда, когда a=1 и b=0. В нашем примере a это левая скобка, b – правая. -
теперь рассуждаем от противного. Пусть в пустой клетке первой строки таблицы истинности стоит ноль:
?
?
?
F
0
0
0
0
-
Тогда в любом из 6 вариантов решения получится x = 0 и y = 0, а значит (x y)=0, что противоречит упомянутому свойству импликации. Значит, там стоит единица:
?
?
?
F
0
0
1
0
0
0
-
По той же причине в левых двух столбцах первой строки не могут находиться одновременно x и y. Это позволяет нам вычеркнуть два из шести вариантов решения:
 | | |
| | | |
Остаются 4 варианта:
| x | z | y |
| y | z | x |
| z | x | y |
| z | y | x |
-
Идем дальше. По упомянутому свойству импликации вторая скобка должна равняться 0, а значит y и z не должны совпадать. Это позволяет нам, погдядев на первую строку таблицы истинности, вычеркнуть еще два варианта решения:
| | | |
| | | |
Остаются 2 варианта:
| x | z | y |
| z | x | y |
-
Получается, что в правом столбце обязательно стоит y. Начало положено. -
Попробуем заполнить пустые клетки во второй строке таблицы истинности. Способов заполнения четыре: 00, 01, 10, 11. Первый из них мы рассмотрели выше, он отпадает. Второй отпадает, так как в этом случае две строки таблицы истинности будут совпадать, что противоречит условию задачи. Третий и четвертый способы приказывают нам иметь во втором столбце единицу. Спасибо и на этом:
?
?
y
F
0
0
1
0
0
1
0
-
Теперь рассмотрим первый из двух оставшихся вариантов решения (xzy), подставив сначала в пустую клетку ноль. Но ноль отпадает, так как x и y не могут одновременно равняться нулю. А единица отпадает, так как y и z не должны совпадать. Значит, отпадает и сам вариант решения xzy. Следовательно, решением задачи является единственный невычеркнутый вариант: zxy. -
Из тех же соображений, что y и z не должны совпадать, в оставшуюся пустую клетку ставим единицу:
z
x
y
F
0
0
1
0
0
1
1
0
-
А теперь проверьте решение, подставив в выражение (x y) (y z) значения переменных из каждой строки таблицы. -
Ответ: zxy.
Решение (метод инверсии, А.Н. Носкин, г. Москва):
-
Известно, что если F = 0, то обратная её функция
=1. -
Применим закон де Моргана и упростим:
-
тогда при тех же значениях аргументов функция истинна
?
?
?
0
0
1
0
1
-
анализ формулы
показывает, что для истинности функции необходимо, чтобы значение в каждой скобке были равны 1. -
Кроме того, этот анализ показывает, что в первой строке таблицы, в ее последнем столбце, не может быть 0, так как тогда значение функции не будет равно 1. На основе этого анализа таблица примет вид:
| ? | ? | ? | |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | | | 1 |
-
Анализ первой строки данной таблицы показывает, что в первых двух ячейках не может быть одновременно ни x, ни y. В этих ячейках рядом может быть только x и z, значит y находится в последней ячейке. -
Во второй ячейке, второй строки не может быть 0, так как должны быть неповторяющиеся строки, а все нули быть не могут (не выполнится условие =1). Значит в данной ячейке строго 1.
| ? | ? | y |  |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | | 1 |
-
Значит в оставшейся ячейке может быть только 0 или 1, а именно, во второй строке возможен набор 010 или 011. Простой анализ с учетом того, что в последнем столбце y, дает итоговый ответ – набор 011 . -
Ответ: zxy.
Источник: https://files.student-it.ru/previewfile/180663