Материал: Анализ таблиц истинности логических выражений

Ещё пример задания:

Р-17. Логическая функция F задаётся выражением ¬x  y  (¬z  w). На рисунке приведён фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий все наборы аргументов, при которых функция F ложна. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z, w.

?	?	?	?	F
0	0	0	1	0
0	1	0	1	0
0	1	1	1	0

В ответе напишите буквы x, y, z, w в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы. Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.

Решение:

1. 
   запишем выражение в более понятной форме:
   
2. 
   анализ формулы показывает, что для того, чтобы функция F была ложна, необходимо, чтобы x всегдабыл равен 1, а y всегдабыл равен 0; поэтому x – это последний столбец в таблице, а y – первый:
   

   y	?	?	x	F
   0	0	0	1	0
   0	1	0	1	0
   0	1	1	1	0

3. 
   остается разобраться с двумя средними столбцами; обратим внимание на вторую строчку таблицы, в которой одна из оставшихся переменных равна 1, а вторая – 0; так как функция равна 0, то , откуда следует, что z = 1 и w = 0 (иначе произведение будет равно 1)
   
4. 
   Ответ: yzwx.
   

Решение (2 способ, инверсия выражения):

1. 
   запишем выражение в более понятной форме:
   
2. 
   попытаемся свести задачу к уже известной задаче; если при каком-то наборе аргументов функция F ложна, то обратная её функция, , истинна
   
3. 
   построим обратную функцию, используя законы де Моргана:
   

4. 
   тогда при тех же значениях аргументов функция истинна
   

   ?	?	?	?
   0	0	0	1	1
   0	1	0	1	1
   0	1	1	1	1

5. 
   анализ формулы показывает, что для истинности функции необходимо, чтобы x всегдабыл равен 1, а y всегдабыл равен 0; поэтому x – это последний столбец в таблице, а y – первый:
   

   y	?	?	x
   0	0	0	1	1
   0	1	0	1	1
   0	1	1	1	1

6. 
   остается разобраться с двумя средними столбцами; обратим внимание на вторую строчку таблицы, в которой одна из оставшихся переменных равна 1, а вторая – 0; так как функция равна 1, то , откуда следует, что z = 1 и w = 0 (иначе сумма будет равна 0)
   
7. 
   Ответ: yzwx.
   

Ещё пример задания:

Р-16. Логическая функция F задаётся выражением (x  y )  (y  z). Ниже приведён фрагмент таблицы истинности. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z?

?	?	?	F
1	0	1	1
0	0	1	0

В ответе напишите буквы x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы.

Решение:

8. 
   Выражение представляет собой логическое произведение имплкаций. Поэтому для его истинности обе импликации должны быть истинны.
   
9. 
   Расмотрим верхнюю строчку таблицы, где функция принимает значение 1. Здесь одна из переменных равна 0, а две другие равны 1.
   
10. 
    Нулю в этой строке может быть равна только переменная x, так как при y = 0 получаем
    

(1  0 )  (0  1) = 0  1 = 0

а при z = 0 имеем (1  1 )  (1  0) = 1  0 = 0, то есть эти два варианта не подходят.

Таким образом, второй стоблец – x.

11. 
    Теперь рассматриваем вторую строку, где мы должны получить 0. Мы уже знаем, что второй столбец – x, поэтому во второй строке x = 0, и (0  y )  (y  z) = 0.
    
12. 
    Первая импликация 0  y = 1 независимо от значения y. Поэтому для того, чтобы все выражение было равно 0, нужно обеспечить y  z = 0.
    
13. 
    Это условие сразу даёт y = 1 и z = 0. Поэтому третий столбец – y, а первый – z.
    
14. 
    Ответ: zxy.
    

Ещё пример задания (М.В. Кузнецова):

Р-15. Логическая функция F задаётся выражением (x  ¬y  ¬z)  (¬x  y). Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z?

	?	?	?	F
1	0	0	0	1
2	0	0	1	0
3	0	1	0	1
4	0	1	1	1
5	1	0	0	1
6	1	0	1	0
7	1	1	0	0
8	1	1	1	1

В ответе напишите буквы x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала – буква, соответствующая 1-му столбцу; затем – буква, соответствующая 2-му столбцу; затем – буква, соответствующая 3-му столбцу). Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.

Решение (М.В. Кузнецова, через СКНФ и сопоставление таблиц истинности):

1. 
   Запишем заданное выражение в более простых обозначениях:
   

2. 
   Функция задана в виде КНФ (конъюнктивной нормальной формы), которую можно привести к СКНФ, используя известные тождества алгебры логики: , и распределительный закон для операции «И» .
   

Вторую дизъюнкцию дополним недостающей переменной z:



СКНФ:

3. 
   Каждая дизъюнкция в СКНФ соответствует строке таблицы истинности, в которой F=0. Используя полученную СДНФ, делаем вывод: в таблице истинности имеется 3 строки, где F=0, заполним их:
   

	x	y	z	F
	0	1	1	0
	1	0	0	0
	1	0	1	0