Материал: Авдеев Е.Ф., Смирнова В.О. Конспект лекций по курсу Механика жидкости и газа

Для ньютоновских жидкостей (отсутствие трения покоя) принята линейная связь

где – тензорная единица.

Связь (4.9) называют так же обобщенным «законом» Ньютона, где коэффициент ( – динамическая вязкость) поставлен, чтобы получить формулу Ньютона для напряже-

ния трения в ламинарных течениях, точка вверху над ̇поставлена для напоминания, что компоненты тензора ̇выражаются через производные от скоростей, согласно правилу:

( ) (4.10)

4.2. Уравнения динамики в напряжениях С учетом представленной классификации сил, запишем теорему количеств движе-

После подстановки в (4.1) выражения для напряжения (4.8) и перехода от 3-х интегралов по поверхности к интегралам по объему, все слагаемые будут состоять из интегралов по объему. Если записать все интегралы по объему в один, он будет равен нулю. Как известно, интеграл может быть равным нулю за счет области интегрирования или в случае равенства нулю подынтегрального выражения. В данном случае мы должны приять последнее, так как объем мыл принят произвольным. В результате получим:

Дифференциальное уравнение (4.12), выражающее закон сохранения импульса называют уравнением динамики в напряжениях. Оно имеет простой и буквальный физический смысл: полное ускорение состоит из ускорения за счет массовых сил и ускорения за счет поверхностных сил. В проекциях на оси координат это будут три уравнения с девять. Скалярными напряжениями, в которых независимыми будут только шесть, так как

.

4.3. Понятие давления

В тензоре напряжений с компонентами и , напряжения с одинаковыми индексами физически означают нормальные составляющие напряжений, с разными – касательные напряжения.

Приравнивая в (4.9) линейные инварианты тензоров, получим:

Это среднее арифметическое три взаимно ортогональных напряжений, взятое с обратным знаком, принято за понятие давления в реальной (вязкой) жидкости; имеет смысл гипотезы ,так как не из каких соображений нельзя доказать равенства ортогональных напряжений в вязкой жидкости.

В случае модели жидкости, для которой принимают напряжения трения равными нулю, в тензоре напряжений остаются только диагональные ортогональные напряжения. Легко доказывается их равенство. За давление принимают их общую величину:

(4.14)

Точно таким же будет понятие давления покоящейся, но уже реальной жидкости. Отсюда следуют два известных свойства давления: оно нормально к стенке и не зависит от направления.

4.4. уравнения движения вязкой жидкости (Навье-Стокса)

Подставляя напряжения из (4.9), в случае постоянной плотности, в уравнения динамики в напряжениях (4.12), получим уравнения движения вязкой жидкости НавьеСтокса:

(4.15)

где – кинематическая вязкость, – оператор Лапласа. Этот вид уравнения получен в 1822 году Навье и независимо Стоксом в 1842 году. Их общего аналитического решения до сих пор не существует, имеются их решения только для простых частных случаев.

4.5. уравнения движения идеальной жидкости Л. Эйлера

Необходимость введения модели идеальной жидкости вызвана в общем случае приведением числа неизвестных к числу уравнений.

При известных массовых числах, число неизвестных параметров будет равно 11: три составляющих скорости, плотность, 6 неизвестных напряжений и температура. А уравнений будет 6, включая уравнения неразрывности движения, энергии и состояния. Для модели идеальной жидкости 6 напряжений заменяются одним понятием давления. Число неизвестных оказывается равным числу уравнений.

Уравнения динамики в напряжениях для модели идеальной жидкости или газа имеет вид:

Это векторная запись классических уравнений Л. Эйлера. Уравнения (4.16) допускают частное аналитическое решение.

4.6. Интеграл Д. Бернулли и область его действительности

Решение уравнения (4.16) найдем при условиях: - стационарное течение; - массовые силы имеют потенциал, то есть ̅

Для названных условий уравнения (4.16) перепишем в виде:

При записи (4.16’) принять равным нулю, получим решение:

(4.17)

Во избежание путаницы, далее, с уравнением Д. Бернулли для потока вязкой жидкости конечного поперечного сечения, назовем решение (4.17) интегралом Бернулли. С энергетической точки зрения интеграл Бернулли выражает закон сохранения механической энергии единицы массы.

б) в случае, когда ̅ и ̅ параллельны, движение происходит вдоль вихревой линии; в) правую часть (4.16’) можно занулить скалярным умножением на вектор ̅.

Тогда в левой части произведение ̅ или ̅ , а это производные от b по направлению ̅ или ̅.

В первом случае сумма сохраняется только для точек, находящихся на одной и той же линии тока, а во втором случае только для точек вдоль вихревой линии.

Знание правильности применения интеграла Бернулли имеет первостепенное значение, иначе можно делать ложные выводы для зависимости скорости и давления.

Для покоящейся жидкости получим основное уравнение гидрогазостатики, полагая

Силами тяжести можно пренебречь в случае малой плотности среды и малой вертикальной протяженности течения, а при большой плотности – только при малой разности двух точек.

4.7. Частные случаи интеграла Бернулли

В самом простом случае, при постоянной плотности и действия только сил тяжести, интеграл Бернулли имеет вид:

(4.19)

где z – вертикальная координата точки. Не играет роли откуда начинать отсчет этой координаты, так как в уравнении, записанном для двух точек, будет разность координат.

В случае пренебрежения массовыми силами, интеграл Бернулли будет еще проще:

получим выражение для экспериментального определения скорости через разность давлений торможения и статического давления:

Адиабатические процессы ближе всего к реальным процессам, так как даже при невысоких для газа скоростях, теплообмен с окружающей средой не успевает происходить.

Функция давления в этом случае будет равна:

В пренебрежении массовыми силами, после определения постоянной интегрирования в точке торможения, получим формулу для экспериментального определения скорости:

Известную как формула Сен-Венана и Ванцеля.

4.8. Соотношения для покоящейся жидкости

Полагая в рассмотренных частных случаях интеграла Бернулли скорость, равной нулю, получим соотношения для покоящейся жидкости или газа.

При постоянной плотности и действии только сил тяжести, получим (называемое в гидравлике) основное уравнение гидростатики:

(4.27)

Для двух точек (4.27) с одной и той же плотностью, найдем закон Паскаля, который гласит: изменение давления в какой-либо точке передается другим точкам без изменения. Его можно доказать и в случае двух несмешивающихся жидкостей, когда в точках разная плотность, с помощью введения третей точки на границе раздела жидкостей.

В случае изотермического газа будем иметь:

4.9. уравнение Д. Бернулли для потока конечного поперечного сечения вязкой жид-

кости

4.9.1. Плавно изменяющееся течение и его основные свойства

Плавно изменяющимся течением называют течение, при слабо искривленных линиях тока или при большом радиусе из кривизны. Направляя ось Х вдоль течения, приближенно можно считать полную скорость равной ее проекции на ось Х, а поперечные проекции скорости принять равными нулю. Подставляя эти условия в уравнения НавьеСтокса (4.15), получим, что в плоскости живого сечения ( ) уравнения будут совпадать с уравнениями статики, и значит, в этой плоскости справедливо основное уравнение гидростатики:

(4.30)

Этот результат будет основным свойством плавно изменяющихся течений. Оно имеет принципиальное значение при выводе уравнения Бернулли для целого потока.

Уточним еще, что строго живым сечением потока называют сечение, в каждой точке которого линии тока направлены по нормали. Поэтому искривленным линиям тока бу-

дет соответствовать искривленное живое сечение, но для плавно изменяющихся движений его принимают плоским.

4.9.2. Обобщение интеграла Бернулли на поток конечного сечения

Будем исходить из понимания, что каждое слагаемое интеграла Бернулли (4.19)

Будет энергией весового расхода потока через живые сечения . После его деления на весовой расход потока, записанный через среднюю скорость, получим энергию на единицу веса уже для целого потока. Обозначим He . Исходя из основного свойства плавно

Другой интеграл заменив в виде:

∫

где – коэффициент, показывающий, во сколько ращ кенетическае энергия потока, записанная через истиные скорости, отличается от кинетической энергии, записанной через средние скорости.

Тогда энергия на единицу веса потока будет:

(4.32)

Уравнение (4.32) будет сокращенной записью уравнения Бернули для потока реальной жидкости. После подстановки выражение для и согласно (4.31), получим уравнение Бернулли в развернутом виде:

среды. Принципиально важно понимать, что потери давления определяются из уравнения Бернулли записанных для двух сечений потока:

( ) (5.2)