Материал: Авдеев Е.Ф., Смирнова В.О. Конспект лекций по курсу Механика жидкости и газа

Из (5.2) ясно, что если первое слагаемое будет отрицательным, то же самое будет и со вторым слагаемым, если . Последнее слогаемое означает потери давления на преодоление сопротивлений. Таким образом, без определения потерь давления на преодоление сопротивлений нельзя найти общее .

Из-за различной природы сопротивлений, они делятся на два вида: местные сопротивления и сопротивления за счет трения (по длине) . Оба вида сопротивлений легко определяются через среднюю скорость.

5.1. местные гидравлические сопротивления

Местные сопротивления возникают за счет локальной передачи, вызывающей искривление направления движения (расширение, сужение, повороты, задвижки и т.д.), так как для изменения направления движения необходима энергия, которая в данном случае может заимствоваться только из потока. В очень редких случаях удается теоретически найти выражение для этих потерь давления.

Одним из таких случаев является внезапное расширение в каналах, именуемое в гидравлике теоремой Борда:

где выражение в скобках характеризует геометрию внезапного расширения (

– площади широкого и узкого сечения), – средние скорости в широком и узком сечениях.

На основе (5.4) общепринятая формула зависимости потерь деления от местных сопротивлений будет:

(5.5)

где – коэффициент местного сопротивления, в большинстве случаев определѐнный экспериментально. Судя по (5.4), для одного и того же сопротивления значения

напор нужно выразить потери давления, записывают через динамический напор за местным сопротивлением, считая в направлении течения.

В проектных расчетах чрезвычайно важно знать следующее обстоятельство. Если по справочным данным суммированием будут найдены потери на все местные сопротивления, то действительные потери могут быть меньше, что приведет к увеличению проектного значения расхода. Дело в том, что суммарные потери давления могут быть равны действительным, только при определенном удалении местных сопротивлений друг от друга. Этот эффект был обнаружен сравнительно недавно и получил название эффекта взаимного влияния местных сопротивлений. В частности, при экспериментах с двумя шайбами, проведѐнными авторами этих лекций на кафедре теплофизики ИАТЭ НИЯУ МИФИ, суммарный коэффициент местного сопротивления, при увеличении расстояния между шайбами увеличивается в два с половиной раза, по сравнению с их плотным расположением. Эффект может быть обращен в пользу, когда необходимо создать требуемое сопротивление каналов при экспериментальном моделировании процессов на натурных установках.

5.2. Сопротивление трения в каналах

Потери давления на преодоление трения (по длине), зависит прежде всего от режима в течения – ламинарного или турбулентного, так как напряжение трения для ламинарных течений принято определять по формуле Ньютона:

(5.6)

где и – динамическая и кинематическая вязкости, а в турбулентных течениях к добавляется напряжение , обусловленное перемешиванием макро объѐмов. Причѐм, в

некоторых случаях, если представить по аналогии с (5.6):

, то есть молекулярной вязкостью можно пренебречь. Последним обстоятельством нужно пользоваться очень аккуратно, анализируя физику процесса.

5.2.1. Ламинарное течение

Потери давления на трение в каналах начали использовать в технике после получения французским врачом Пуазейлем формулы для объемного расхода крови Q в крупных сосудах человека.

Опустим здесь интересный анализ этой формулы, указывающий, на какой параметр должен взаимодействовать лекарственный препарат для экстренного увеличения расхода крови в органы и на какой при консервативном лечении.

Если в (5.8) заменить расход через среднюю скорость, легко получить:

После введения понятия коэффициента сопротивления трения , как безразмерную величину, показывающую, сколько динамических напоров теряется за счѐт трения на длине трубы, равной ее диаметру:

(5.10)

и сравнения (5.9), (5.10), найдем выражение для в круглой трубе.

(5.11)

В классической литературе, на основании решения уравнения Навье-Стокса, получено выражение для в каналов эллиптического, треугольного, прямоугольного и квадратного сечений, которые можно записать в общем виде:

(5.12)

где постоянная зависит от формы поперечного сечения канала. В общем случае потери давления на трение записывают через :

(5.13)

и именуют в классике формулой Дарси-Вейсбаха.

Из формулы (5.13) и (5.12) следует физический закон сопротивления: при ламинарном течении в каналах потери давления на трение зависят от средней скорости в первой степени (линейно).

В записи формулы (5.13) введен новый размер , характерный для поперечного размера каналов некруглого сечения. Зависимость для его вычисления следует из анало-

следует общая формула для расчета гидравлического диаметра:

(5.15)

Во избежание ошибок подчеркиваем, что за смоченный периметр нужно принимать только тот периметр, который смачивает твердые стенки. В частности, для ячеек твэл с дистанционированием твэл решетками, его длина будет равна половине окружности твэла, а при дистанционировании твэлов проволочный навивкой, к половине окружности твэла нужно добавить окружность проволоки.

5.2.2. Турбулентное течение

Из-за отсутствия, по фундаментальным причинам, рациональной теории турбулентных течений, вынуждено принята форма записи потерь на трение при турбулентном течении в каналах (5.13), полученная по теории ламинарных течений. Остаѐтся решить проблему нахождение зависимости для .

Если следовать аналогии с ламинарными течениями, всѐ начиналось с распределения скоростей, так как формула Пуазейля получена по параболическому распределению

необходимо прежде всего установить распределение скоростей при турбулентном течении, хотя бы в круглых трубах. Это будет иметь непосредственно практическое значение, так как в оборудовании АЭС (да и тепловых станций), включая активной зоны реактора течение теплоносителя (или рабочего тела) турбулентное.

Начинаем с получение распределение скоростей в круглых трубах.

Прандтль, рассматривая перенос количества движения макрообъѐмами, получил формулу для напряжения трения в турбулентных течениях:

где – путь смешения (путь, который проходит элементарный объем, при изменении его скорости на величину скорости пульсации), ̅ – осредненное скорость.

Сделав два предположения:

ния, уменьшается от стенки по линейным зависимостям. Сделав эти предположения, Прандтль стремился получить логарифмическое распределение скоростей, установленные личными экспериментами. Из (5.16) действительно следует логарифмический закон:

границы для турбулентного течения будет , где :

Записывай формулы (5.20) и (5.21) для оси трубы, используя значение дефицита средней скорости: (опытное значение, теоретическое – 3,75), получим вы-

Зависимость (5.22) можно представить только графически. Это, так называемый, график Никурадзе, который приводится во всех руководствах по технической гидромеханике (гидравлике). А далее найдена аппроксимация графической зависимости для разных диапазонов чисел Рейнольдса в области турбулентных течений:

Не надо думать, что потери давления на трение всегда зависят от средней скорости в квадрате (5.13). Если подставить в (5.13) соответствующее выражение для , получим, что для ламинарных течений потери на трение зависят от средней скорости в первой степени, то есть линейно. При турбулентном течении в гидравлически гладких каналах в сте-

пени 1, 75. Квадратичная зависимость появляется только в случае гидравлически шероховатых каналов.

Экспериментально физические законы сопротивление устанавливаются очень просто: по построению графика . Тангенс угла наклона будет показывать степень для средней скорости. Поэтому показателю определяется режим течения и выбор формулы для .

Выше изложенное и составляет суть эмпирической теории Прандтля для турбулентного течения в трубах, которой пользуются в мировой практике инженерных расчетов.

Определение коэффициентов сопротивления трения в каналах ячеек ТВС также привязаны к полученным выше формулам, с поправкой на геометрию ячеек твэл. Методика получения этих зависимостей принадлежит ученым ГНЦ РФ-ФЭИ: академику В.И. Субботину и д.т.н. П.А. Ушакову.

6. Тепловая формула интеграла Бернулли. Закон сохранения и превращения. Одномерный поток газа.

Применим модель идеального газа, пренебрегая трением. Параметры потока газа, найденные в этом предположении, оказываются вполне приемлемыми для инженерных оценок, в связи с малой динамической вязкостью газа.

Общая задача, частные случаи которой приходится решать, состоит в умении определять термодинамические параметры в произвольных сечениях канала, по известным параметрам в одном из сечений и известных площадях сечений.

Однако, для замыкания системы уравнений, необходимо дать математическое представление закона сохранения и превращения энергии.

6.1 дифференциальное уравнение для закона сохранения и превращения энергии

Полная производная по времени от полной энергии объѐма, равна сумме мощностей за счет массовых и поверхностных сил, сложение с количеством тепла, подведенного (отведенного) к объему извне в единицу времени.

Математическая зависимость:

∫ ( ) ∫ ̅ ̅ ∫ ̅ ̅ ∫ (6.1)

где u – внутренняя энергия; q – энергия, подведенная извне к единице массы в единицу времени.

Поступая математически, аналогично с законом сохранения импульса, получим