Материал: Авдеев Е.Ф., Смирнова В.О. Конспект лекций по курсу Механика жидкости и газа

6.2. Тепловая формула интеграла Бернулли. Изоэнтропические формулы

При баротропности стационарного движения, когда линии тока и траектории совпадают, из (6.4) получим связь энтальпии и функции давления:

(6.5)

которая даѐт основания для записи тепловой формулы интеграла Бернулли.

(6.6)

В приближении массовых сил:

(6.7)

6.3. Понятие скорости звука и числа M. Изоэнтропический формулы

6.3.1 Постановка общей задачи.

Общая задача, по отношению к которой другие задачи будут ее частными случаями

(Рис. 6.1):

В одном из сечение канала А1 с произвольными вдоль него площадями сечений A(х) известны все термодинамические параметры – плотность, давление, температура и скорость звука.

Рис. 6.1

Необходимо определить эти параметры в произвольном сечении канала А(х). Газ считается идеальным (без трения) и параметры по сечению однородны. При решении этих задач используют полученные ниже 4 группы изоэнтропических формул.

6.3.2. Понятие скорости звука и числа M.

Скорость звука в среде – это скорость распространения волн слабой интенсивности, с очень малым изменением давления и температуры. Общее выражение для скорости зву-

Несмотря на то, что выражение (6.8) носит общий характер, ясно, что скорость зву-

Первоначальное предположение Ньютона об изоэнтропичности распространения звуковых волн привело к ошибочным результатам, что удалось исправить Лапласу предположением адиабатичности распространения звуковых волн. Заменив Ньютоновские

на ( ), Лаплас получил выражение:

√ √ (6.9)

хорошо совпадающее с опытом.

Из выражения (6.9) следует, что строгим является понятие скорости звука в точке. Для практики эксплуатации АЭС принципиально важным будет понятие скорости

звука в двухфазных средах, что качественный изображено на графике Рис. 6.2. По оси абсцисс отображено объемное паро (или газо) содержание .

Рис. 6.2

Видно, что при скорость звука может стать ⁄ . Без знания этих особенности акустики невозможно объяснить многие процессы, особенно аварийные.

Число М, как отношение скорости среды к местной скорости звука во многих руководствах именуют как число Маха, по имени австрийского физика. Однако значительно раньше Маха оно было введено русским баллистиком Маевским, именем которого это число и следуют называть, или просто числом M.

В теории подобия и физическом моделировании течения сжимаемых сред, число М оказывается одним из критериев подобия.

6.3.3 Изоэнтропические формулы

Из тепловой формулы интеграла Бернулли следует:

( )

следовательно, отношения скорости звука будут равны:

⁄

( )

Это первая группа формул, связывающая параметры торможения и статические, через число M.

Простыми рассуждениями получим еще три группы формул,

-связывающие статические параметры:

( )

⁄

( )

( )

⁄

( )

-статические и критические параметры

Критическими называют параметры в том месте (или сечении), где скорость среды равна местной скорости звука (М=1). Обычно критические скорости среды обозначают .

-параметры торможения и критические

( )

⁄

( )

( )

⁄

( )

В зависимости от частной задачи используют ту или иную группу приведенных формул.

Из группы (IV) следует очень сложный для понимания факт, что в данном потоке скоростей звука много (разные температуры), а критическая скорость одна. Так как энтальпия торможения (следовательно и температура торможения) сохраняется одинаковой, сохраняются одинаковой и критическая температура. Следовательно, одинакова и соответствующая ей критическая скорость.

6.4. Решения общей задачи

Основным условием будет сохранения массового расхода в сечении А1, где параметры известны, и в продольном сечении А(х):

где неизвестным является только число M. Оно находится и ставится в формулу группы (II) для определения статических параметров в произвольном сечении А(х).

Если сечение А1 – критическое (М1=1), выражение (6.11) будет более простым:

Графические представления формулы (6.12) представлены на Рис. 6.3.

Рис. 6.3

Ясно, что в области дозвуковых скоростей для увеличения скорости, площади сечения канала нужно уменьшать, а в области сверхзвуковых скоростей наоборот – увеличивать.

При сохранении массового расхода, увеличение скорости и площади может происходить только за счет сильного уменьшения плотности. Приступим к принципу работы холодильного устройства, так как в адиабатических процессах уменьшение плотности сопровождается уменьшением температуры.

6.4.1. Истечение из конфузорного сопла

Это классический пример формирования критических параметров в узком сечении

тех пор, пока в выходном сечении сопла скорость газа не достигла местной скорости звука, так как изменение со скоростью звука передаѐтся в объем истечения. Но когда в выходном сечении сопла скорость газа достигает скорости звука, возмущения не могут проникать в объѐм истечения, так как сносятся потоком газа. Наступает явление, имеющиеся «запиранием» выходного сечения сопла, когда сколько бы не уменьшалось массовый расход остаѐтся неизменным. Изложенное представлено на графике (Рис. 6.4), где по оси ординат отложен безразмерный расход.

Рис. 6.4

Видно, что с уменьшением ⁄ расход растет, но когда давление в выходном сечении становится критическим , согласно последней формуле группы (IV):

и т.д. Полезно знать, пока скорость в выходном сечении не достигла скорости

звука, давление в нѐм равно противодавлению, а критическое давление равно примерно половине давления в объеме истечения ( ).