Материал: Баранник Лекции по курсу Теория переноса нейтронов 2012

вит Φ(r ,t)Σtr dV – это число нейтронов,

которое может после рассеяния полететь к площадке dS.

Считаем рассеяние в лабораторной системе координат сферически симметричным (равновероятным во все стороны). Спроецируем площадку dS на поверхность сферы радиуса r с центром в точке r . Эта проекция равна dS cosθ. Доля нейтронов, идущих через эту проекцию, будет равна отношению этой проекции к полной площади

dS cosθ

4πr2

телесного угла, под которым видна площадка dS из точки r ).

Число нейтронов, идущих из объема dV в направлении площадки dS, с учетом вероятности того, что нейтрону удастся из-

бежать взаимодействия с ядрами среды exp(-Σtotr) будет равно

здесь Σtot = Σtr + Σa – полное сечение среды. Так как поглощение в среде мы условились считать слабым (Σtr >> Σa), то взаимодействие нейтрона с ядрами среды в основном заканчивается рассеянием и

Σtot ≈ Σtr .

Полное число нейтронов, идущих из верхнего полупространства в отрицательном направлении оси 0z через площадку dS, можно определить интегрированием выражения (3.3) с учетом того, что dV = dxdydz в сферической системе координат (ССК)

dV = r2 sin θdrdθdϕ:

n = J− (0,t)dS =

правлении оси 0z через площадку dS.

56

Считая рассеяние изотропным и сферически симметричным, имеем

Считая, что функция Ф(r ,t) не претерпевает существенных из-

менений на расстоянии 2–3 длин свободного пробега нейтронов (обоснуем это позже) и плотность потока нейтронов слабо меняется в окрестности начала координат, можно ограничиться линейной аппроксимацией при разложении в ряд Тэйлора в центре площадки dS → 0 (рис. 12):

57

Таким образом, плотность одностороннего тока нейтронов сквозь площадку dS в отрицательном направлении оси 0z (из верхнего полупространства) равна

Рассуждения по аналогии для нижнего полупространства с соответствующими пределами интегрирования приводят к симметричному выражению для односторонней плотности тока через dS в

Тогда разностная плотность токов в положительном направле-

что с учетом произвольности выбора площадки dS (0 можно опустить) приводит к закону Фика, записанному для нейтронов ранее

(см. (3.1), (3.2)):

Связь односторонних токов с плотностью потока нейтронов

имеет вид:

58

Отсюда и следует, что диффузионный ток – это вектор, показывающий в каком направлении и сколько нейтронов в данной точке пространства в единицу времени пересекает единицу площади вследствие встречных составляющих плотности потока Ф по этому направлению.

Альбедо β – отражательная способность (поверхности среды) с

учетом (3.8) и (3.11)

Скорость утечки нейтронов Р [нейтр./см3с] – это число нейтронов, уходящих из единичного объема среды за 1 с.

Пусть расположенный вдоль оси 0х объем dVx имеет прямоугольную форму с торцом в 1 см2 и толщиной dx, тогда объем его dVx = dx. Пусть утечка нейтронов из этого объема определяется разностью выходящего тока нейтронов J(x+dx) и входящего J(x),

В общем случае переход (*) справедлив для однородной среды, свойства которой (коэффициент диффузии D) не зависят от на-

Данное выражение можно получить следующим образом. Представим элементарный объем dV в виде параллелепипеда с ребрами dx, dy, dz. Если в данный объем, например, в грань dydz входит ток

59

Jx, а выходит из объема Jx+dx, то скорость утечки нейтронов из данного объема будет определяться выражением:

Это выражение можно получить и через теорему Остроградско- го-Гаусса.

Согласно теореме Остроградского–Гаусса: поток Ра вектора a сквозь произвольную замкнутую поверхность S равен объемному (тройному) интегралу от дивергенции этого вектора по объему, ограниченному этой поверхностью

Дивергенцией diva называется математическая операция, в результате которой получаем скаляр (не вектор)

т.е. как средняя мощность источников или стоков в области объе-

мом V, ограниченной замкнутой поверхностью S. Таким образом,

P(rG) = v∫ JdS = −Dv∫ ФdS = −D∫div( Ф)dV = −D Ф

Баланс нейтронов единице объема определяется тремя процес-

60