Материал: Баранник Лекции по курсу Теория переноса нейтронов 2012

Это условие следует понимать как равенство числа испускаемых источником в единицу времени нейтронов числу нейтронов, утекающих сквозь поверхность элементарной сферы с источником

вцентре при ее радиусе, стремящемся к нулю.

III. Условие ограниченности и неотрицательности нейтрон-

ного потока. Согласно физическому смыслу нейтронный поток не может быть бесконечно большим и отрицательным, т.е.

IV. Начальные условия в нестационарных задачах. Для ре-

шения нестационарного уравнения, необходимо знать распределе-

V. Условия, определяемые геометрическими и физикохимическими особенностями решаемой задачи. Сложные задачи решаются достаточно просто аналитически, например, при наличии симметрии в системе, при разбиении сложной системы на части, при группировке составляющих сложных систем по схожести свойств, например, метод гомогенизации реакторной ячейки и т.д.

Часто из соображений симметрии нейтронного поля на функцию налагают условие экстремума в центре симметричного тела

Пусть дано тело, состоящее из нескольких однородных по свойствам областей (зон), свойства которых резко меняются лишь на границах. Пусть внешняя граница является выпуклой, а генерация нейтронов осуществляется только внешними источниками с посто-

66

янной мощностью. В этом случае нейтронное поле в теле будет стационарно и будет описываться стационарным уравнением диф-

фузии моноэнергетических нейтронов в форме (3.23):

S(r ) −ΣaФ(rG) + D Ф(rG) = 0.

Считая, что коэффициент диффузии D ≠ 0 , разделим обе части уравнения на D, тогда уравнение примет вид

Уравнение (3.37) называют стационарным уравнением диффу-

зии для неразмножающей среды. Если в среде возможно появление нейтронов деления, то в уравнении (3.23) добавляется слагаемое

генерации нейтронов за счет деления ядер среды

S(r ) +νf Σf Ф(rG) −ΣaФ(rG) + D Ф(rG) = 0 ,

где νf – число нейтронов деления при распаде одного ядра среды

(урана-235).

Преобразуя, получаем стационарное уравнение диффузии для размножающей среды

щаяся.

67

Здесь рассмотрим только общую методику решения уравнения (3.37). Общую аналогичную методику решения уравнения (3.37/) рассмотрим в последующих лекциях.

Решение полученного неоднородного уравнения (3.37) ищут как

а также любого частного решения неоднородного уравнения. Считая мощность источника S и коэффициент диффузии среды D постоянными в данной области, можно записать частное решение, удовлетворяющее уравнению (3.37)

Если считать поток константой, то производная от константы в (3.37) будет равна нулю, и выполнится условие

− L12 Ф(rG) + SD(r ) = 0 ,

превращающееся в (3.39). Добавку (3.39) будем добавлять далее к общему решению однородной части уравнения диффузии (3.37) для различных систем координат и случаев симметрии.

Оператор Лапласа в различных системах координат принимает

для полубесконечного цилиндра в случае отсутствия зависимости функций от угловых переменных

для сферы в случае отсутствия зависимости функций от угло-

Решение уравнения диффузии (3.37) в случае плоской геометрии (3.40) имеет вид

68

где константы здесь и далее находятся с помощью вышеперечисленных шести групп граничных и прочих условий.

В случае цилиндрической симметрии ((3.41), зависимость только от координаты r) решение уравнения диффузии (3.37) имеет вид

где I0(r/L) и K0(r/L) – модифицированные функции Бесселя 1-го и 2- го рода нулевого порядка (n = 0) соответственно.

В случае сферической симметрии ((3.42), зависимость только от координаты r) решение уравнения диффузии (3.37) имеет вид

Рассмотрим, например, общее решение однородного уравнения (3.38) для сферической симметрии с точечным источником нейтронов, расположенным в начале координат. Это – формула (3.45) без последнего слагаемого

Исходя из условия ограниченности нейтронного потока сonst2 = 0, так как в противном случае плотность потока нейтронов будет бесконечно большой. Константу сonst1 находят либо из равенства скоростей генерации и поглощения нейтронов, либо из условия локализованного источника.

Окружим источник сферой SR радиуса R. Число нейтронов, утекающих из этой сферы в окружающее пространство, определяется согласно условию локализованного источника (3.33). Площадь та-

кой сферы SR = v∫ dSR = 4πR2 . Так как в рассматриваемом случае

69

3.3. Характерные задачи стационарной теории диффузии моноэнергетических нейтронов

Задача 3.1. Пусть точечный источник нейтронов постоянной мощностью S находится в бесконечной однородной среде. Определить средний квадрат расстояния, которое проходит моноэнергетический нейтрон от точки генерации до точки поглощения ядрами среды.

Решение. Скорость поглощения – число нейтронов, поглощаемых ядрами среды в единицу времени в единице объема среды в

окрестности точки r – определяется выражением ΣaФ(r ) . Эта

функция характеризует распределение плотности вероятности поглощения нейтрона, испущенного источником, на расстоянии r от источника. Тогда квадрат среднего расстояния, проходимого от точки генерации до точки поглощения, будет равен

∫r exp(−r / L)dr

0

Из (3.48) следует, что квадрат длины диффузии моноэнергетического нейтрона в среде равен одной шестой среднего квадрата расстояния, проходимого в нейтроном в этой среде от точки рождения до точки поглощения

70