Материал: cgiirbis_64 (7)

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 3

ПОБУДОВА ЕКОНОМЕТРИЧНОЇ МОДЕЛІ НА ОСНОВІ СИСТЕМИ ОДНОЧАСНИХ СТРУКТУРНИХ РІВНЯНЬ

Основні теоретичні положення

При вивченні складних економічних явищ економетричний аналіз може базуватися на системі рівнянь, причому деякі змінні Yt, Xt можуть входити більш ніж в одне рівняння, кожне з яких описує змінну та її взаємозв’язок з певними чинниками.

Такі економетричні моделі називаються системами одно-

часних структурних рівнянь.

Cистема одночасних рівнянь містить ендогенні та екзогенні змінні.

Ендогенними є ті змінні, які визначаються внутрішньою структурою досліджуваного економічного явища, тобто їх значення вивчаються на основі економетричної моделі (залежні змінні).

Екзогенні змінні не залежать від внутрішньої структури економічного явища і їх значення задаються поза моделлю (пояснювальні змінні).

Структурна і зведена форми систем одночасних рівнянь, рекурсивні системи

Одночасні моделі мають дві форми: структурну і зведену. Структурна форма моделі створюється у процесі формування

моделі, спрямованому на відбиття причинно-наслідкового механізму, що реально існує. Вона дає змогу простежити вплив змін екзогенних змінних моделі на значення ендогенних змінних.

Припустимо, що система рівнянь структурної форми моделі сумісна. Тоді цю систему можна розв’язати щодо ендогенних змінних. Результатом такого розв’язування буде зведена форма моделі.

Нехай система одночасних рівнянь містить k ендогенних і m екзогенних змінних. Позначимо Y1t, Y2t, ..., Ymt ендогенні, а X1t, X2t,

..., Хkt екзогенні змінні; t — спостереження (t = 1, 2, ..., n) і запишемо структурну форму системи одночасних рівнянь у розгорнутому вигляді:

147

Структурну форму системи одночасних економетричних рівнянь можна подати й у матричному вигляді

де А — невироджена матриця невідомих параметрів при ендогенних змінних розмірності (k k);

В — матриця невідомих параметрів при екзогенних змінних розмірності (k m);

Yt — вектор ендогенних змінних розмірності (k 1); Хt — вектор екзогенних змінних розмірності (m 1); ut — вектор випадкових залишків розмірності (k 1).

До структурної форми системи одночасних рівнянь можуть увійти також балансові рівняння або тотожності, які відбивають балансові зв’язки між деякими змінними та об’єднують регресійні рівняння в систему. Характерною ознакою цих моделей є те, що ендогенна змінна, будучи залежною в одному з рівнянь системи, може відігравати роль незалежної, тобто пояснювальної, змінної в іншому рівнянні.

Систему (1) можна розв’язати відносно ендогенних змінних Y1t, Y2t, ..., Ykt (припускаємо, що ранг системи дорівнює t). Тоді дістанемо зведену форму:

Кожна ендогенна змінна у зведеній формі міститься лише в одному рівнянні і залежить (коли не брати до уваги залишків) тільки від екзогенних змінних. Залишки Vt тут є лінійними функціями залишків ut, а коефіцієнти rij — лінійними функціями коефіцієнтів структурної форми.

Зведену форму (3) у матричному вигляді можна подати так:

148

де R = –А–1В, vt = A–1ut; R — матриця коефіцієнтів зведеної форми розмірності (m · m);

vt — вектор-стовпець, складений з лінійних комбінацій випадкових змінних ut, присутніх у структурній формі рівнянь.

Частинним випадком системи одночасних рівнянь є рекурсивні системи, в яких матриця А параметрів ендогенних змінних має трикутний вигляд, а випадкові залишки не корелюють між собою.

Визначення ідентифікованості системи одночасних рівнянь

Не завжди всі елементи матриць параметрів А та В можуть бути оцінені. Можливість їх оцінювання пов’язана з проблемою ідентифікації. Коли система така, що визначення будь-якого структурного рівняння в ній неможливе, то це рівняння є не ідентифікованим і не може бути оцінене взагалі. Якщо умов, які допускають оцінювання, достатньо, але й не більш того, рівняння може бути строго ідентифіковане. І якщо умов більше, ніж потрібно для оцінювання рівняння, маємо його надідентифікацію.

Для оцінювання параметрів системи одночасних структурних рівнянь застосовують спеціальні методи (метод 1 МНК, який оцінює окремо кожне рівняння системи, дуже часто приводить до необґрунтованих оцінок). Найпоширенішими є двота трикроковий метод найменших квадратів.

Надідентифіковані рівняння оцінюються за допомогою двокрокового методу найменших квадратів (2 МНК).

Двокроковий метод найменших квадратів (2МНК) дістав свою назву на тій підставі, що 1 МНК тут застосовується на двох етапах.

1.На першому етапі за допомогою 1 МНК оцінюються параметри кожного регресійного рівняння, зокрема у зведеній формі, тобто оцінюється залежність між певною ендогенною змінною та всіма екзогенними змінними.

2.На другому етапі 1 МНК застосовується для оцінювання параметрів регресійних рівнянь у структурній формі, але у праву частину таких рівнянь включаються розрахункові значення ендогенних змінних, що дозволяє звільнитися від залежності пояснюючих змінних та стохастичної складової. Якщо такої залежності немає, то для оцінювання параметрів моделі доцільно застосовувати метод 1 МНК.

Формалізовано процедуру оцінювання параметрів 2 МНК опишемо у вигляді алгоритму.

149

Алгоритм 2 МНК

Крок 1. Перевіряється кожне рівняння моделі на ідентифікованість. Якщо рівняння точно ідентифіковані або надідентифіковані, то для оцінювання параметрів кожного з них можна використати оператор оцінювання:

Крок 2. Знаходження добутку матриць поточних ендогенних змінних, які містяться у правій частині моделі, та матриці всіх екзогенних змінних моделі, тобто Y1 X .

Крок 3. Обчислення матриці X X і знаходження оберненої матриці (X X ) 1 .

Крок 4. Визначення добутку X Y1 матриць усіх екзогенних і всіх ендогенних змінних у правій частині моделі.

Крок 6. Визначення добутку Y1 X матриць ендогенних змін-

них у правій частині моделі і екзогенних змінних, які внесені до даного рівняння.

Крок 7. Знаходження добутку X Y1 матриць екзогенних

змінних, які входять у дане рівняння, і ендогенних змінних правої частини системи рівнянь.

Крок 8. Визначення добутку X1 X1 матриць екзогенних змінних даного рівняння.

Крок 9. Знаходження матриці, оберненої до блочної:

Крок 10. Визначення добутку матриць X Y1 , де X — мат-

риця всіх ендогенних змінних моделі, Y1 — вектор залежної ендогенної змінної лівої частини рівняння.

Крок 11. Знаходження добутку матриць: qs Y1 X1 X1 (X X ) 1 X Y1.

150

Крок 12. Визначення параметрів моделі:

€

bs Qs 1qs .a€s

Крок 13. Обчислення s-ї залежної ендогенної змінної на основі знайдених параметрів as i bs:

€

Ys asY1 bs X1.

Крок 14. Обчислення вектора залишків в s-му рівнянні системи:

€

us Ys Ys .

Крок 16. Знаходження матриці коваріацій для параметрів кожного рівняння:

asy var a€ 2 Q 1.

€

b us s

Побудова економетричної моделі на основі системи одночасних структурних рівнянь 2 МНК

заробітної плати.

Для побудови цієї економетричної моделі скористаємося вихідними даними першої лабораторної роботи, додавши щомісячні дані про заробітну плату (табл. 1).

151