Материал: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.2.2003
Âîïðîñû è óïðàæíåíèÿ ê ãëàâàì 9, 10, 11 è 12
9.1. Îáùèé ïóòü ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ. Ìåòîä
ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ
ÂÎÏÐÎÑÛ
1.
Êàêîé ðåæèì â ëèíåéíîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ìîæíî ñ÷èòàòü óñòàíîâèâøèìñÿ?
2.
Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ â ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ìîæåò âîçíèêàòü ñâîáîäíûé òîê?
3.
(Î) Êàêèì îáðàçîì ïî âèäó ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ìîæíî îïðåäåëèòü ïîðÿäîê
äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùåãî ïåðåõîäíûé ïðîöåññ?
4.
(Î) Âõîäÿùàÿ â ïðàâóþ ÷àñòü äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ äëÿ òîêà
i
k
(
t
)
íåêîòîðîé âåòâè ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ôóíêöèÿ
f
k
(
t
):
à
) ïîñòîÿííà
f
k
(
t
)
=
A
;
á
) ÿâ-
ëÿåòñÿ ñèíóñîèäàëüíîé ôóíêöèåé âðåìåíè
f
km
sin (
w
t
+
y
k
). Êàê ðàññ÷èòàòü âåëè-
÷èíó
¢
i t
k
( )?
5.
(Î) Çàâèñèò ëè ïîðÿäîê äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùåãî ïå-
ðåõîäíûé ïðîöåññ â öåïè, îò âûáîðà ìåòîäà, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî ñîñòàâëÿåòñÿ
ñèñòåìà óðàâíåíèé (ìåòîä êîíòóðíûõ òîêîâ, óçëîâûõ íàïðÿæåíèé è äð.)?
6.
Ïî÷åìó èìåííî òîêè êàòóøåê èíäóêòèâíîñòè è íàïðÿæåíèÿ êîíäåíñàòîðîâ
îïðåäåëÿþò ýíåðãåòè÷åñêîå ñîñòîÿíèå ýëåêòðè÷åñêîé öåïè?
7.
Ïî÷åìó íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðàõ è òîêè êàòóøåê èíäóêòèâíîñòè îñòàþò-
ñÿ íåèçìåííûìè â ìîìåíò êîììóòàöèè?
8.
Ìîãóò ëè â ìîìåíò êîììóòàöèè â ëèíåéíîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ñ èñòî÷íèêà-
ìè ýíåðãèè êîíå÷íîé ìîùíîñòè áûòü áåñêîíå÷íî áîëüøèìè:
à
) òîêè êàòóøåê
èíäóêòèâíîñòè;
á
) íàïðÿæåíèÿ íà ðåçèñòîðàõ;
â
) íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðàõ;
ã
) íàïðÿæåíèÿ íà êàòóøêàõ èíäóêòèâíîñòè;
ä
) òîêè êîíäåíñàòîðîâ;
å
) òîêè ðåçè-
ñòîðîâ?
9.
(Î) Ìîæåò ëè õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå äèôôåðåíöè-
àëüíîìó óðàâíåíèþ íåêîòîðîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, îäíîâðåìåííî èìåòü îäèí
(èëè íåñêîëüêî) îòðèöàòåëüíûé âåùåñòâåííûé êîðåíü è ïàðó ìíèìûõ êîðíåé?
10.
Ìîæåò ëè õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå äèôôåðåíöèàëü-
íîìó óðàâíåíèþ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, èìåòü êîðíè:
à
) 8 –
j
8;
á
) –3
j; â
) 3
j
, 3
j
;
ã
) –8 + 8
j
;
ä
) –2 +
j
3, –2 –
j
3;
å
) –4 +
j
2, 4 +
j
2;
æ
) –6, –6;
ç
) –8, 8?
ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß
1.
(Ð) Íàéäèòå âåëè÷èíû
¢
i
L
(èëè
¢
u
C
) â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ, ñõåìû êîòîðûõ èçî-
áðàæåíû íà ðèñ. B9.1 (
E
=
const,
Á =
const).
2.
(Ð) Íàéäèòå çàïàñåííóþ ýíåðãèþ â óñòàíîâèâøèõñÿ ðåæèìàõ â öåïè äî çàìû-
êàíèÿ è ïîñëå çàìûêàíèÿ êëþ÷à â óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåãî óïðàæíåíèÿ.
3.
(Ð) Äëÿ ñõåì, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. B9.1, îïðåäåëèòå
¢
i t
L
( ) èëè
¢
u t
C
( ), ñ÷èòàÿ,
÷òî íà âõîäå öåïè äåéñòâóåò èñòî÷íèê ñèíóñîèäàëüíîé ÝÄÑ
e
(
t
)
=
E
m
sin
w
t
èëè
òîêà
Á
(
t
)
=
Á
m
sin
w
t
. Ðàñ÷åò óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà âûïîëíèòå â öåïè, êîòîðàÿ
îáðàçîâàëàñü ïîñëå çàìûêàíèÿ êëþ÷à.
4.
(Ð) Ñîñòàâüòå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ òîêà
i
L
èëè íàïðÿæåíèÿ
u
C
â öåïåé, ñõåìû êîòîðûõ èçîáðàæåíû íà ðèñ. B9.2. Çàïèøèòå òàêæå óðàâíåíèÿ ñî-
ñòîÿíèé ýòèõ öåïåé.
5.
(Ð) Ïðè âûðàæåíèè òîêîâ è íàïðÿæåíèé ðåçèñòèâíûõ ýëåìåíòîâ ÷åðåç ïåðå-
ìåííûå ñîñòîÿíèÿ ìîæíî ðàññìîòðåòü íîâóþ öåïü, â êîòîðîé êàòóøêè èíäóê-
òèâíîñòè ïðåäñòàâëåíû èñòî÷íèêàìè òîêà, à êîíäåíñàòîðû — èñòî÷íèêàìè ÝÄÑ.
×åìó ðàâíû âåëè÷èíû èñòî÷íèêîâ òîêà è èñòî÷íèêîâ ÝÄÑ? Èñïîëüçóÿ ìåòîä
íàëîæåíèÿ, çàïèøèòå óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé óïð. 4, çàìåíÿÿ
êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè èñòî÷íèêàìè òîêà, à êîíäåíñàòîðû — èñòî÷íèêàìè ÝÄÑ.
6.
(O) Ñõåìà öåïè ñîäåðæèò ïîñëå êîììóòàöèè
m
êîíäåíñàòîðîâ è
p
êàòóøåê èí-
äóêòèâíîñòè. Êàêîâ ìàêñèìàëüíûé ïîðÿäîê ïðîèçâîäíîé, èñïîëüçóåìîé ïðè îï-
ðåäåëåíèè ïîñòîÿííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ, åñëè â ñõåìå èìååòñÿ
k
êîíòóðîâ, ñî-
ñòîÿùèõ òîëüêî èç êîíäåíñàòîðîâ è
n
çâåçä, ñîñòîÿùèõ òîëüêî èç êàòóøåê
èíäóêòèâíîñòè? Êàêîâ ïîðÿäîê äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùåãî
ïåðåõîäíûé ïðîöåññ â ýòîé öåïè?
7.
 öåïè èìååòñÿ êîíòóð, ñîñòîÿùèé èç äâóõ êîíäåíñàòîðîâ
C
1
è
C
2
è èñòî÷íèêà
ÝÄÑ. Áóäóò ëè íàïðÿæåíèÿ
u
C
1
è
u
C
2
ÿâëÿòüñÿ ïåðåìåííûìè ñîñòîÿíèÿ?
154
Âîïðîñû è óïðàæíåíèÿ ê ãëàâàì 9, 10, 11 è 12
Ðèñ. B9.1
Ðèñ. B9.2
8.
Êàê äîëæíû áûòü ñîåäèíåíû äâå êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè è èñòî÷íèê òîêà,
÷òîáû òîê òîëüêî îäíîé èç íèõ âîøåë â ñèñòåìó óðàâíåíèé ìåòîäà ïåðåìåííûõ
ñîñòîÿíèé?
9.
Èçîáðàçèòå ñõåìû ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé, ñîäåðæàùèå òðè êîíäåíñàòîðà è ðå-
çèñòîðû, ïåðåõîäíûé ïðîöåññ â êîòîðûõ îïèñûâàåòñÿ:
à
) äèôôåðåíöèàëüíûì
óðàâíåíèåì òðåòüåãî ïîðÿäêà;
á
) äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì âòîðîãî ïî-
ðÿäêà;
â
) äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ïåðâîãî ïîðÿäêà.
10.
(Î) Ïðèâåäèòå ïðèìåðû öåïåé, â êîòîðûõ îòñóòñòâèå ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà
ïîñëå êîììóòàöèè ÿâèëîñü ñëåäñòâèåì:
à
) ñïåöèàëüíî ïîäîáðàííûõ íà÷àëüíûõ
óñëîâèé;
á
) êîíôèãóðàöèè öåïè.
11.
(Ð) Íàéäèòå âåëè÷èíû
i
L
(+0) è
di
dt
L
t
=+
0
ïîñëå êîììóòàöèè â öåïÿõ, ñõåìû
êîòîðûõ ïîêàçàíû íà ðèñ. B9.3 (
U
=
const,
E
=
const,
Á =
const).
12.
(Ð) Íàéäèòå âåëè÷èíû
u
C
(+0) è
du
dt
C
t
=+
0
ïîñëå êîììóòàöèè â öåïÿõ, ñõåìû
êîòîðûõ ïîêàçàíû íà ðèñ. B9.4 (
U
=
const,
E
=
const,
Á =
const).
Âîïðîñû è óïðàæíåíèÿ ê ãëàâàì 9, 10, 11 è 12
155
Ðèñ. B9.3
Ðèñ. B9.4
13.
(Ð) Íàéäèòå âåëè÷èíû
i
L
(+0),
di
dt
L
t
=+
0
,
d i
dt
L
t
2
2
0
=+
, u
C
(+0),
du
dt
C
t
=+
0
,
d u
dt
C
t
2
2
0
=+
ïî-
ñëå êîììóòàöèè â öåïÿõ, ñõåìû êîòîðûõ èçîáðàæåíû íà ðèñ. B9.5 (
U
=
const).
14.
(Î) Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå, ñîñòàâëåííîå äëÿ öåïè èç ðåçèñòîðîâ, êà-
òóøêè èíäóêòèâíîñòè è êîíäåíñàòîðà èìååò îäèí èç ñëåäóþùèõ êîðíåé:
à
) +
j
20;
á
) –2 +
j
5;
â
) –
j
20;
ã
) –2. Óêàæèòå, êàêèå åùå êîðíè äîëæíî èìåòü ýòî óðàâíåíèå.
15.
Èçîáðàçèòå íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ óðàâ-
íåíèé, ñîîòâåòñòâóþùèå ñëåäóþùèì âûðàæåíèÿì, îïðåäåëÿþùèì ñâîáîäíûé
ïðîöåññ:
à
)
x
²
(
t
)
=
A
1
e
t
a
1
+
A
2
e
t
a
2
+
A
3
e
–
d
t
sin (
w¢
t
+
y
);
á
)
x
²
(
t
)
=
(
A
0
+
A
1
t
+
A
2
t
2
)
e
–
d
t
+
A
3
e
a
t
;
â
)
x
²
(
t
)
=
(
A
0
+
A
1
t
)
e
–
d
t
sin (
w¢
t
+
y
),
a
1
< 0,
a
2
< 0,
a
< 0,
d
> 0.
Êàêîé ïîðÿäîê èìåþò ñîîòâåòñòâóþùèå õàðàêòåðèñòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ?
9.2. Ïåðåõîäíûå ïðîöåññû â öåïÿõ
r
,
L
è
r
,
C
ÂÎÏÐÎÑÛ
1.
Âî ñêîëüêî ðàç èçìåíèòñÿ ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäè-
íåííûìè ó÷àñòêàìè
r
,
L
(èëè
r
,
Ñ
), åñëè
à
) óâåëè÷èòü ñîïðîòèâëåíèå
r
ðåçèñòîðà
â 2 ðàçà;
á
) óìåíüøèòü èíäóêòèâíîñòü
L
êàòóøêè (èëè åìêîñòü
Ñ
êîíäåíñàòîðà)
â 2 ðàçà?
2.
Âî ñêîëüêî ðàç èçìåíÿåòñÿ ñâîáîäíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ òîêà â öåïÿõ ñ ïîñëåäîâà-
òåëüíî ñîåäèíåííûìè ó÷àñòêàìè
r
,
L
(èëè
r
,
C
) çà âðåìÿ
t
= t
,
t
=
3
t
,
t
=
5
t
?
3.
Ìîæíî ëè äëÿ óìåíüøåíèÿ ïîñòîÿííîé âðåìåíè öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíî ñî-
åäèíåííûìè ó÷àñòêàìè
r
,
L
:
à
) óâåëè÷èòü ïðîïîðöèîíàëüíî ëèíåéíûå ðàçìåðû
êàòóøêè, ñîõðàíèâ òåìè æå ÷èñëî âèòêîâ è ìàòåðèàë ïðîâîäà îáìîòêè;
á
) âíåñòè
â êàòóøêó, íàìîòàííóþ íà íåìàãíèòíûé ïîëûé öèëèíäð ôåððîìàãíèòíûé ñòåð-
æåíü;
â
) óâåëè÷èòü ÷èñëî âèòêîâ, ñîõðàíèâ ðàçìåðû êàòóøêè;
ã
) íàìîòàòü êàòóøêó
áîëåå òîíêèì ïðîâîäîì èç òîãî æå ìàòåðèàëà, ñîõðàíèâ åå ðàçìåðû è ÷èñëî âèò-
êîâ?
ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß
1.
Ê öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûìè ó÷àñòêàìè
r
,
L
â ìîìåíò âðåìåíè
t
=
0 ïîäêëþ÷àåòñÿ èñòî÷íèê ñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ
u
(
t
)
=
U
m
sin (
w
t
+
y
).
Êàê çàâèñÿò îò âåëè÷èíû
y
:
à
)
i
L
(+0);
á
)
u
L
(+0);
â
)
¢¢
i
L
(+0)?
156
Âîïðîñû è óïðàæíåíèÿ ê ãëàâàì 9, 10, 11 è 12
Ðèñ. B9.5
2.
Ê öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûìè ó÷àñòêàìè
r
,
C
â ìîìåíò âðåìåíè
t
=
0 ïîäêëþ÷àåòñÿ èñòî÷íèê ñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ
u
(
t
)
=
U
m
sin (
w
t
+
y
).
Êàê çàâèñÿò îò âåëè÷èíû
y
:
à
)
u
C
(+0);
á
)
i
C
(+0);
â
)
¢ +
u
C
( )
0 ;
ã
) ìàêñèìàëüíîå çíà-
÷åíèå òîêà
i
C
(
t
)?
3.
Èçîáðàçèòå êðèâûå, ñîîòâåòñòâóþùèå ôóíêöèÿì
¢
¢¢
u t u t u t
L
L
L
( ),
( ),
( ), ïðè ïîä-
êëþ÷åíèè ê öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûìè ó÷àñòêàìè
r
,
L
èñòî÷íèêà
ñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ
u
(
t
)
=
U
m
sin (
w
t
+
y
) ïðè
y = j
+
p
/2. Çäåñü
j = y
u
–
y
i
— óãîë ñäâèãà ïî ôàçå ìåæäó íàïðÿæåíèåì è òîêîì â öåïè ïîñëå
îêîí÷àíèÿ ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà.
4.
Èçîáðàçèòå êðèâûå, ñîîòâåòñòâóþùèå ôóíêöèÿì
¢
¢¢
u t u t u t
C
C
C
( ),
( ),
( ), ïðè ïîä-
êëþ÷åíèè ê öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûìè ó÷àñòêàìè
r
,
C
èñòî÷íèêà ñè-
íóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ
u
(
t
)
=
U
m
sin (
w
t
+
y
) ïðè
y = j
. Çäåñü
j = y
u
–
y
i
—
óãîë ñäâèãà ïî ôàçå ìåæäó íàïðÿæåíèåì è òîêîì â öåïè ïîñëå îêîí÷àíèÿ ïåðå-
õîäíîãî ïðîöåññà
u
C
(0)
=
0.
5.
(Ð) Ïðåäëîæèòå ñïîñîá ðàñ÷åòà ïîñòîÿííîé âðåìåíè öåïè, ñîäåðæàùåé ïðî-
èçâîëüíîå ÷èñëî ðåçèñòîðîâ è:
à
) îäíó êàòóøêó èíäóêòèâíîñòè;
á
) îäèí êîíäåí-
ñàòîð.
6.
(Ð) Íàéäèòå ïîñòîÿííûå âðåìåíè öåïåé, ñõåìû êîòîðûõ èçîáðàæåíû íà
ðèñ. B9.6.
7.
(Ð) Íàéäèòå òîê
i
(
t
) â öåïè, ñõåìà êîòîðîé èçîáðàæåíà íà ðèñ. B9.7, ïðè
à
)
E
=
const;
á
)
E
=
E
(
t
).
8.
(Ð) Ðàññ÷èòàéòå ýíåðãèþ, ðàññåèâàåìóþ â ðå-
çèñòîðå
r
çà âðåìÿ ðàçðÿäà êîíäåíñàòîðà â öåïè,
ñõåìà êîòîðîé èçîáðàæåíà íà ðèñ. B9.8. Ñðàâíè-
òå åå ñ çàïàñåííîé ýíåðãèåé â ýëåêòðè÷åñêîì
ïîëå êîíäåíñàòîðà äî êîììóòàöèè.
E
=
20 Â,
r
=
10 Îì,
r
0
=
5 Îì,
C
=
1 ìêÔ.
Âîïðîñû è óïðàæíåíèÿ ê ãëàâàì 9, 10, 11 è 12
157
Ðèñ. B9.7
Ðèñ. B9.8
Ðèñ. B9.6