Материал: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.2.2003

íåóñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ (ñì. ðèñ. Â22.2) â òî÷êó

Â

óñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ

ïðè

à

) óâåëè÷åíèè èíäóêòèâíîñòè

L

êàòóøêè (

r

=

const),

á

) óâåëè÷åíèè ñîïðî-

òèâëåíèÿ

r

ðåçèñòîðà (

L

=

const)?

5.

 êàêîì âèäå ìîæíî èçîáðàçèòü õàðàêòåðèñòèêó

u

=

F

(

i

)

íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà âáëèçè òî÷åê

À

,

Â

ðàâíîâåñèÿ (ñì.

ðèñ. Â22.2) ïðè ðàçëîæåíèè ôóíêöèè

u

=

F

(

i

ð

+

h

) â ðÿä

è óäåðæàíèè ñëàãàåìûõ íå âûøå ïåðâîé ñòåïåíè îòêëîíå-

íèÿ

h

òîêà?

6.

 ýëåêòðè÷åñêîé öåïè (ñì. ðèñ. Â22.1) ñ íåëèíåéíûì

ñîïðîòèâëåíèåì, èìåþùèì ïàäàþùóþ õàðàêòåðèñòèêó

u

=

F

(

i

) (ñì. ðèñ. Â22.2), óñòîé÷èâûì ÿâëÿåòñÿ ñîñòîÿíèå

ðàâíîâåñèÿ â òî÷êå

Â

, à íåóñòîé÷èâûì — â òî÷êå

À

. Ñîõðà-

íèòñÿ ëè â òî÷êàõ

À

,

Â

òîò æå õàðàêòåð ðàâíîâåñèÿ, åñëè íå-

ëèíåéíîå ñîïðîòèâëåíèå èìååò ïîêàçàííóþ íà ðèñ. Â22.3

ïàäàþùóþ õàðàêòåðèñòèêó

u

íý

=

f

(

i

íý

)?

7.

Èçîáðàçèòå ñõåìû ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé, êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò ëèíåéíûì

äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì ïåðâîãî ïîðÿäêà äëÿ ìàëûõ ïðèðàùåíèé

h = D

i

íý

è

h = D

u

íý

â öåïÿõ, ïîêàçàííûõ íà ðèñ. Â22.1, Â22.4.

8.

(Ð) Íàéäèòå ñîîòíîøåíèÿ, êîòîðûì äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ïàðàìåòðû ýëå-

ìåíòîâ èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. Â22.5 öåïåé è ïðè âûïîëíåíèè êîòîðûõ ñîñòîÿ-

íèå ðàâíîâåñèÿ óñòîé÷èâî äëÿ ìàëûõ îòêëîíåíèé îò íåãî òîêîâ è íàïðÿæåíèé.

Ñîïðîòèâëåíèå íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà ïðè ëèíåàðèçàöèè åãî õàðàêòåðèñòèêè

â òî÷êå ðàâíîâåñèÿ ïðèìèòå ðàâíûì

r

ä

.

22.2. Àâòîêîëåáàíèÿ â íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ

ÂÎÏÐÎÑÛ È ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß

1.

(Î) Âîçìîæíî ëè âîçíèêíîâåíèå àâòîêîëåáàíèé â ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, â êî-

òîðîé âûïîëíåíà íå ïîëîæèòåëüíàÿ, à îòðèöàòåëüíàÿ îáðàòíàÿ ñâÿçü?

2.

(Î) Âîçìîæíî ëè âîçíèêíîâåíèå íåçàòóõàþùèõ êîëåáàíèé â ïàññèâíîé öåïè,

ñîäåðæàùåé íåèäåàëüíûå êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè è êîíäåíñàòîðû?

3.

Ïî÷åìó ôîðìà àâòîêîëåáàíèé îáû÷íî îòëè÷àåòñÿ îò ñèíóñîèäàëüíîé?

4.

Êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, ïîëó÷àåìîãî ïðè ëèíåàðèçàöèè çàâè-

ñèìîñòè

u

íý

(

i

), âåùåñòâåííûå. Ìîãóò ëè â öåïè âîçíèêàòü àâòîêîëåáàíèÿ?

Âîïðîñû, çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ ê ãëàâàì 19–22

493

Ðèñ. Â22.4

Ðèñ. Â22.3

Ðèñ. Â22.5

5.

 ãåíåðàòîðå, ñîäåðæàùåì èíäóêòèâíî ñâÿçàííûå êàòóøêè, ñóùåñòâóþò àâòî-

êîëåáàíèÿ. Áóäóò ëè îíè ñóùåñòâîâàòü ïðè èçìåíåíèè çíàêà (ñì. ðèñ. Â22.9)

âçàèìíîé èíäóêöèè, ò. å. ïðè ïåðåêëþ÷åíèè çàæèìîâ îäíîé èç êàòóøåê?

6.

(Î) Â öåïè ñ îäíèì íåëèíåéíûì ýëåìåíòîì, õàðàêòåðè-

ñòèêà êîòîðîãî ïîêàçàíà íà ðèñ. Â22.6, ñóùåñòâóþò àâòî-

êîëåáàíèÿ. Êàêîé ìîæåò áûòü íàèáîëüøàÿ àìïëèòóäà êîëå-

áàíèé òîêà ýòîãî ýëåìåíòà? Ïî÷åìó ìîãóò ñóùåñòâîâàòü

àâòîêîëåáàíèÿ ñ ìåíüøåé àìïëèòóäîé?

7.

ßâëÿåòñÿ ëè íåîáõîäèìûì äëÿ âîçíèêíîâåíèÿ àâòîêîëå-

áàíèé íàëè÷èå â ýëåêòðè÷åñêîé öåïè íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà

ñ ïàäàþùåé õàðàêòåðèñòèêîé?

8.

(Î) Â ëèíåéíîé öåïè ñ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé

K

(

p

), îõâà÷åííîé óñòðîéñò-

âîì îáðàòíîé ñâÿçè ñ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé

K

îñ

(

p

), ñóùåñòâóþò íåçàòóõàþùèå

êîëåáàíèÿ. Çàïèøèòå óðàâíåíèÿ, ïîçâîëÿþùèå ðàññ÷èòàòü ÷àñòîòó è àìïëèòóäó

êîëåáàíèé íà âûõîäå öåïè. Êàêîé âèä ïðèìóò ýòè óðàâíåíèÿ, åñëè öåïüþ îáðàò-

íîé ñâÿçè ñ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé

K

îñ

(

p

) îõâà÷åí áåçûíåðöè-

îííûé óñèëèòåëü ñ êîýôôèöèåíòîì óñèëåíèÿ

K

ó

?

9.

(Î) Ïî÷åìó ðåëàêñàöèîííûå êîëåáàíèÿ â öåïè, èçîáðàæåí-

íîé íà ðèñ. Â22.7, íåâîçìîæíû, åñëè ïðÿìàÿ

u

=

U

0

–

r

1

i

ïåðåñå-

êàåò õàðàêòåðèñòèêó

u

= j

(

i

) (ðèñ. Â22.8,

à

) íåëèíåéíîãî ýëå-

ìåíòà íà îäíîì èç åå âîñõîäÿùèõ ó÷àñòêîâ?

10.

Êàê èçìåíÿåòñÿ ïåðèîä ðåëàêñàöèîííûõ êîëåáàíèé (ðèñ. Â22.8,

á

) â öåïè

(ðèñ. Â22.7) ïðè èçìåíåíèè:

à

) åìêîñòè

Ñ

êîíäåíñàòîðà;

á

) íàïðÿæåíèÿ

U

0

;

â

) ñîïðîòèâëåíèÿ

r

1

ðåçèñòîðà?

22.3. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â íåëèíåéíûõ öåïÿõ

ÂÎÏÐÎÑÛ È ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß

1.

 ÷åì çàêëþ÷àþòñÿ äîñòîèíñòâà àíàëèòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è ðàñ÷åòà ïå-

ðåõîäíîãî ïðîöåññà â íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ?

2.

Èç êàêèõ ñîîáðàæåíèé ñëåäóåò âûáèðàòü âûðàæåíèå äëÿ àïïðîêñèìàöèè õà-

ðàêòåðèñòèêè íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà ïðè ïîèñêå àíàëèòè÷åñêîé çàâèñèìîñòè òî-

êà ëèáî íàïðÿæåíèÿ â ïåðåõîäíîì ïðîöåññå?

3.

 ÷åì ñîñòîÿò òðóäíîñòè ïîëó÷åíèÿ àíàëèòè÷åñêèõ ðåøåíèé äèôôåðåíöèàëü-

íûõ óðàâíåíèé ïðè ðàñ÷åòå ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â íåëèíåéíûõ öåïÿõ?

494

Âîïðîñû, çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ ê ãëàâàì 19–22

Ðèñ. Â22.6

Ðèñ. Â22.7

Ðèñ. Â22.8

4.

(Î) Õàðàêòåðèñòèêó íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà àïïðîêñèìèðóþò îòðåçêàìè ïðÿ-

ìûõ. Êàêèå óñëîâèÿ äëÿ íàõîæäåíèÿ ïîñòîÿííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ ñëåäóåò ïðè-

íèìàòü íà ãðàíèöàõ îòðåçêîâ, åñëè äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå íà êàæäîì èç

ó÷àñòêîâ èìååò ïîðÿäîê:

à

) ïåðâûé;

á

) âòîðîé;

â

)

k

-é?

5.

Ïðè êóñî÷íî-ëèíåéíîé àïïðîêñèìàöèè õàðàêòåðèñòèêè íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà

íà ãðàíèöàõ ó÷àñòêîâ àïïðîêñèìàöèè ñîîòâåòñòâóþùàÿ âåëè÷èíà (ñîïðîòèâëå-

íèå, èíäóêòèâíîñòü ëèáî åìêîñòü) èçìåíÿåòñÿ ñêà÷êîì. Ñëåäóåò ëè ïðèíèìàòü

âî âíèìàíèå ìãíîâåííîå èçìåíåíèå ïàðàìåòðà ïðè ðàñ÷åòå ïåðåõîäíîãî ïðîöåñ-

ñà íà êàæäîì èç îòðåçêîâ?

6.

Äëÿ íàõîæäåíèÿ êàêîé èç óêàçàííûõ äàëåå âåëè÷èí ìåòîä óñëîâíîé ëèíåàðè-

çàöèè áîëåå òî÷åí:

à

) äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìàêñèìàëüíûõ çíà÷åíèé

Y

max

,

i

max

â ïåðå-

õîäíîì ïðîöåññå;

á

) äëÿ îïðåäåëåíèÿ âðåìåíè ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà?

7.

(Ð) Ðàññ÷èòàéòå òîêè âåòâåé è íàïðÿæåíèå íà íåëèíåéíîì ýëåìåíòå â ñõåìàõ,

èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. Â22.9, ìåòîäîì êóñî÷íî-ëèíåéíîé àïïðîêñèìàöèè õàðàê-

òåðèñòèêè íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà. Õàðàêòåðèñòèêè íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ ïðè-

âåäåíû â òàáëèöå. Íàïðÿæåíèÿ íà âõîäå öåïè óêàçàíû â âîëüòàõ, ñîïðîòèâëåíèÿ

ðåçèñòîðîâ — â îìàõ, åìêîñòè êîíäåíñàòîðîâ — â ìèêðîôàðàäàõ.

Âåáåð-àìïåðíàÿ

õàðàêòåðèñòèêà

êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè

Âîëüò-êóëîíîâñêàÿ

õàðàêòåðèñòèêà

êîíäåíñàòîðà

Âîëüò-àìïåðíàÿ

õàðàêòåðèñòèêà

ðåçèñòîðà

Y

, Âá

i

L

, À

q

, ìêÊë

u

C

, Â

u

R

, Â

i

R

, À

0

0

0

0

0

0

0,01

0,5

10

4

20

0,04

0,03

1

20

11

40

0,08

0,055

1,5

24

16

50

0,1

0,09

3

28

22

70

0,2

0,109

4,5

32

33

80

0,3

0,113

5

36

47

93

0,5

0,119

6

40

63

106

0,9

0,124

7

44

84

115

1,4

0,132

9

48

113

120

1,8

0,137

11

49

129

126

2,8

0,141

15

50

155

127

3,2

Âîïðîñû, çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ ê ãëàâàì 19–22

495

Ðèñ. Â22.9

22.4. Ìåòîä ôàçîâîé ïëîñêîñòè

ÂÎÏÐÎÑÛ È ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß

1.

Ìîæíî ëè ïî ôàçîâîé òðàåêòîðèè öåïè îïðåäåëèòü íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ

èçîáðàæàþùåé òî÷êè?

2.

Ìîæåò ëè ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ íåëèíåéíîé öåïè:

à

) áûòü ðàçðûâíîé;

á

) ðàñïî-

ëàãàòüñÿ òîëüêî â îäíîì êâàäðàíòå ïëîñêîñòè

x

0

y; â

) èìåòü âíóòðè ïðåäåëüíîãî

öèêëà íåóñòîé÷èâûé óçåë?

3.

Êàêèå òî÷êè ôàçîâîé ïëîñêîñòè ñîîòâåòñòâóþò ïîëîæåíèþ ðàâíîâåñèÿ íåëè-

íåéíîé öåïè?

4.

ßâëÿþòñÿ ëè èçîêëèíàìè ëèíèè

x

=

0,

y

=

0?

5.

 êàêèõ ñëó÷àÿõ öåëåñîîáðàçíî ïðåäâàðèòåëüíî èçî-

áðàæàòü ñåìåéñòâî èçîêëèí è ëèøü çàòåì ñòðîèòü ôà-

çîâóþ òðàåêòîðèþ?

6.

(Ð) Ïîëó÷èòå âûðàæåíèå äëÿ ðàñ÷åòà ïðîìåæóòêà

âðåìåíè

T

ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà, ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ

êîòîðîãî (ðèñ. Â22.10) âûðàæåíà óðàâíåíèåì

x

a

y

b

2

2

2

2

+

=

1, ïðè èçìåíåíèè

õ

îò 0

äî

à,

ãäå

a

,

b

— äëèíû ïîëóîñåé ýëëèïñà.

7.

(Ð) Ó÷àñòîê

n

... n + 1 ôàçîâîé òðàåêòîðèè (ðèñ. Â22.10) ÿâëÿåòñÿ îòðåçêîì ýë-

ëèïñà ñ óðàâíåíèåì

x

a

y

b

2

2

2

2

1

+

=

. Ðàññ÷èòàéòå ïðîìåæóòîê

D

t

âðåìåíè äâèæåíèÿ

èçîáðàæàþùåé òî÷êè ïî ýòîìó ó÷àñòêó.

496

Âîïðîñû, çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ ê ãëàâàì 19–22

Ðèñ. Â22.10

Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷

9.1. Îáùèé ïóòü ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ.

Ìåòîä ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ

ÂÎÏÐÎÑÛ

3.

Ïîðÿäîê äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùåãî ïåðåõîäíûé ïðîöåññ

â ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, â îáùåì ñëó÷àå íå ðàâåí ïîëíîìó ÷èñëó êàòóøåê èí-

äóêòèâíîñòè è êîíäåíñàòîðîâ â öåïè. Ïîñëåäîâàòåëüíî (èëè ïàðàëëåëüíî)

âêëþ÷åííûå êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè ìîæíî îáúåäèíèòü â îäíó, òàêæå êàê è

ñîîòâåòñòâóþùèì îáðàçîì âêëþ÷åííûå êîíäåíñàòîðû. Îäíàêî è ïîñëå òàêîãî

îáúåäèíåíèÿ ÷èñëî êàòóøåê è êîíäåíñàòîðîâ ìîæåò ïðåâûøàòü ïîðÿäîê äèôôå-

ðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ê íåêîòîðîìó óçëó ïîäõîäÿò âåò-

âè, êàæäàÿ èç êîòîðûõ âêëþ÷àåò â ñåáÿ êàòóøêó èíäóêòèâíîñòè (â ýòîì ñëó÷àå,

êàê ãîâîðÿò, èìååòñÿ

L

Á

-ñå÷åíèå), òî òîê îäíîé èç êàòóøåê ìîæíî âûðàçèòü ÷å-

ðåç òîêè äðóãèõ êàòóøåê èç óðàâíåíèÿ ïåðâîãî çàêîíà Êèðõãîôà, ñîñòàâëåííîãî

äëÿ ýòîãî óçëà. Àíàëîãè÷íî èç óðàâíåíèÿ âòîðîãî çàêîíà Êèðõãîôà, çàïèñàííîãî

äëÿ êîíòóðà, ñîäåðæàùåãî êîíäåíñàòîðû (åñëè òàêèå êîíòóðû, íàçûâàåìûå

CE

-êîí-

òóðàìè, èìåþòñÿ), ìîæíî èñêëþ÷èòü íàïðÿæåíèå îäíîãî èç êîíäåíñàòîðîâ,

âûðàçèâ åãî ÷åðåç íàïðÿæåíèÿ äðóãèõ êîíäåíñàòîðîâ. Åñëè ÷èñëî

L

Á

-ñå÷åíèé

â öåïè ðàâíî

k

, à ÷èñëî

CE

-êîíòóðîâ —

m

, òî ïîðÿäîê äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâ-

íåíèÿ óìåíüøèòñÿ íà ÷èñëî

k

+

m

.

Åñëè â öåïè íåò ïîñëåäîâàòåëüíî (èëè ïàðàëëåëüíî) ñîåäèíåííûõ ýëåìåíòîâ

îäíîãî âèäà, à òàêæå íåò

L

Á

-ñå÷åíèé è

CE

-êîíòóðîâ, òî ïîðÿäîê äèôôåðåíöèàëü-

íîãî óðàâíåíèÿ ðàâåí ÷èñëó êàòóøåê è êîíäåíñàòîðîâ â öåïè.

4.

Ïðè

f

k

(

t

)

=

A

=

const òîê

¢

i t

k

( ) óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà áóäåò ïîñòîÿííûì è

âñå åãî ïðîèçâîäíûå, âõîäÿùèå â ëåâóþ ÷àñòü äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ,

îáðàòÿòñÿ â íóëü. Èñêîìûé òîê

i

k

=

A

/

a

0

íàõîäèì èç ïîëó÷àåìîãî ïðè ýòîì óðàâ-

íåíèÿ

a

0

i

k

=

A

.

Äëÿ ðàñ÷åòà òîêà â ñëó÷àå

á

ñëåäóåò, çàïèñàâ â êîìïëåêñíîé ôîðìå ôóíêöèþ

&

f

k

,

à òàêæå òîê è åãî ïðîèçâîäíûå, ðåøèòü ïîëó÷àåìîå àëãåáðàè÷åñêîå óðàâíåíèå

îòíîñèòåëüíî òîêà

&

I

k

, ïîñëå ÷åãî íàéòè åãî ìãíîâåííîå çíà÷åíèå.

5.

Âûáèðàåìûé ìåòîä ñîñòàâëåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé îïðåäåëÿåò òîëüêî èõ

÷èñëî, íî íå ïîðÿäîê äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ, êîòîðûé (ñì. îòâåò íà âî-

ïðîñ 3) çàâèñèò îò ñõåìû ýëåêòðè÷åñêîé öåïè è êîëè÷åñòâà âõîäÿùèõ â íåå êàòó-

øåê èíäóêòèâíîñòè è êîíäåíñàòîðîâ.

9.

Íàëè÷èå îòðèöàòåëüíûõ âåùåñòâåííûõ êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíå-

íèÿ îçíà÷àåò, ÷òî â ýëåêòðè÷åñêîé öåïè èìåþòñÿ ðåçèñòîðû. Ýòî èñêëþ÷àåò ñó-

ùåñòâîâàíèå ìíèìûõ êîðíåé, ïîÿâëåíèå êîòîðûõ âîçìîæíî òîëüêî ïðè îòñóòñò-

âèè ïîòåðü â öåïè, êîãäà â íåé âîçíèêàþò íåçàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ òîêà.

Îäíàêî â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ, ñîñòîÿùèõ èç íåñêîëüêèõ ïîäöåïåé, ïåðåõîä-

íûå ïðîöåññû â êîòîðûõ íå îêàçûâàþò âçàèìíîãî âëèÿíèÿ, âîçìîæíî ñóùåñòâî-

âàíèå óêàçàííîé êîìáèíàöèè êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ. Ïðèìåð

òàêîé öåïè ïîêàçàí íà ðèñ. Ð9.1,

à.

Åå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå äâóõ ïîäöåïåé,