Материал: Динамика. методические указания к организации самостоятельной работы по дисциплине «Теоретическая механика». Зульфикарова Т.В

Таблица Д2

Определить значение искомой величины в тот момент времени, когда перемещение точки приложения силы равно S. Искомая величина указана в столбце «Найти» табл. Д2, где – скорость груза 3; – скорость центра масс катка 5; – угловая скорость тела 1 и т.д.

Указания

При решении задачи Д2 следует учесть, что кинетическая энергия системы равна сумме кинетической энергий всех входящих в систему тел; эту энергию нужно выразить через искомую скорость (линейную или угловую).

Для установления зависимостей между линейной скоростью и угловой скоростью катящегося тела можно использовать мгновенный центр скоростей.

При определении работы линейные и угловые перемещения всех тел системы следует выразить через заданное перемещение S, учитывая, что эта зависимость будет аналогичной зависимости между линейными и угловыми скоростями тел. Если по данным табл. Д2 масса груза равна 0, то этот груз допускается не изображать на чертеже и не учитывать в расчетах. Шкивы 1 и 2 всегда входят в систему.

Пример решения задачи Д2

Механическая система (рис. Д2) состоит из сплошного цилиндрического катка 1, ступенчатого шкива 2 с радиусами ступеней и (масса шкива равномерно распределена по его внешнему ободу) и груза 3 (коэффициент трения груза о плоскость равен ). Тела системы соединены друг с другом нитями, намотанными на шкив 2.

16

Рис. Д2

Решение Рассмотрим движение неизменяемой механической системы, состоя-

щей из тел 1, 2, 3, соединенных нитями. На систему действуют внешние силы:

.

В начальный момент система находилась в покое, поэтому . Определим кинетическую энергию системы после того, как каток пройдет расстояние . Кинетическая энергия системы величина аддитивная и равна сумме кинетических энергий тел, входящих в систему:

.

Первое тело системы – каток совершает плоское движение, поэтому его кинетическая энергия складывается из двух частей: энергии поступательного движения и энергии вращательного движения

,

Угловая скорость катка выражается через его линейную скорость ⁄ , момент инерции сплошного цилиндрического катка имеет вид

Второе тело системы (шкив) вращается относительно неподвижной

Подставив все известные величины в формулу энергии, получим:

.

Причиной изменения кинетической энергии системы является работа внешних сил, приложенных к ней. Найдём сумму работ всех действующих

Сравним работу сил системы и изменение ее кинетической энергии

.

Ответ:

3.5. Задача Д3. Применение теоремы о движении центра масс

Механическая система состоит из призмы 1, расположенной на горизонтальной гладкой поверхности, и трех тел, соединенных невесомой нерастяжимой нитью (рис. Д3.0…Д3.9). Блок 3, укрепленный на призме, вращается согласно закону ( ) и приводит в движение тела 2 и 4. Этими телами являются: параллелепипед, цилиндрический каток или шкив. Параллелепипед скользит без трения по поверхности призмы, цилиндрический каток движется без проскальзывания по поверхности призмы, а шкив вращается вокруг непо-

18

движной оси. Блок, каток или шкив представляют собой сплошные однородные цилиндры.

Исходные данные для решения приведены в табл. Д3 и на рис. Д3.0…Д3.9.

19

Рис. Д3.8 Рис. Д3.9

Указания к работе

Системы находится на горизонтальной гладкой поверхности, и на нее действуют только вертикальные внешние силы, следовательно, сумма проекций всех внешних сил данной системы равна на ось нулю ∑ . В этом случае систему можно считать замкнутой в направлении оси .

Для решения задачи можно воспользоваться законом сохранения импульсов или законом сохранения движения центра масс (в проекции на ось ). Первоначально система находилась в состоянии покоя, следовательно, и в последующие моменты времени координата ее центра масс изменяться не будет, хотя отдельные тела системы могут совершать относительные движения под действием внутренних сил системы.