Материал: Электростатика. учебное пособие. Янов Г.В., Барсукова А.И

Рассчитаем емкость плоского конденсатора С, у которого площадь обкладок S, заряд обкладок q, расстояние между обкладками d, относительная диэлектрическая проницаемость среды между обкладками ε.

По теореме Остроградского – Гаусса напряженность поля двух параллельных разноименно заряженных с поверхностной плотностью σ = q / S бесконечных плоскостей равна:

Е = .

При расстоянии d намного меньшем линейных размеров обкладок их можно считать бесконечными поверхностями. Учитывая, что Е = - grad φ приходим к соотношению Е ∙ d = U, откуда подстановкой получается, что напряжение на конденсаторе равно

U = ,

откуда емкость плоского конденсатора определяется выражением:

С = .

Для всех типов конденсаторов существует пробивное напряжение – разность потенциалов между обкладками, при которой происходит электрический разряд через слой диэлектрика. Пробивное напряжение зависит от толщины диэлектрика, его свойств и формы обкладок.

Соединение конденсаторов. Для получения необходимой емкости используют составные конденсаторы, которые получают соединением обкладок простых конденсаторов. Емкость составного конденсатора определяется по такой же формуле, что и для простого конденсатора и выражается через емкости его компонентов.

Параллельное соединение. Для увеличения емкости применяется параллельное соединение конденсаторов одноименно заряженными обкладками (рис. 12). Соединенные между собой обкладки образуют обкладки составного конденсатора.

Рис. 12

Суммарный заряд составного конденсатора q определяется из соотношения

q = q₁ + q₂ + q₃ = U_AB ∙ C₁ + U_AB ∙ C₂ + U_AB ∙ C₃ =

= U_AB (C₁ + C₂ + C₃) = U_AB ∙ C,

где U_AB = U₁ = U₂ = U₃ – напряжение, одинаковое на всех компонентах составного конденсатора, а С = C₁ + C₂ + C₃ – емкость составного конденсатора при параллельном соединении его компонентов (С = ∑С_i).

Последовательное соединение. Обкладками составного конденсатора служат обкладки крайних конденсаторов (рис. 13), полный заряд на каждой паре внутренних обкладок равен нулю.

Рис. 13

Получается, что заряд q всех компонентов составного конденсатора одинаковый, то есть q = q₁ = q₂ = q₃. Суммарное падение напряжения U_AB на составном конденсаторе равно сумме падений напряжений на каждом из его компонентов, то есть

U_AB = U₁ + U₂ + U₃ = + + = q ( + + ),

откуда следует, что емкость С составного конденсатора при последовательном соединении его компонентов может быть определена из соотношения:

= ∑ ,

то есть в нашем случае имеем:

= + + .

2.4. Энергия электростатического поля

Энергия системы зарядов. Энергия взаимодействия системы зарядов определяется как работа внешних сил, необходимая для создания этой системы, или как работа, совершаемая силами поля при ее уничтожении. Энергия взаимодействия двух точечных зарядов равна энергии одного заряда в поле, создаваемом другим зарядом:

W₁₂ = q₁ ∙ φ₂(r₁) = q₂ ∙ φ₁(r₂) = k ∙ .

Энергия взаимодействия системы точечных зарядов равна:

W = φ(r_i),

здесь φ(r_i) – потенциал, создаваемый всеми остальными зарядами в той точке, где находится i-й заряд.

Энергия уединенного проводника. Все заряды на проводнике находятся при одинаковом потенциале, равном потенциалу проводника, откуда, с учетом формулы для энергии взаимодействия системы точечных зарядов, имеем

W = = = = ,

где С – электроемкость проводника, q = ∑q_i – суммарный заряд проводника.

Энергия конденсатора. Из формулы для энергии взаимодействия системы точечных зарядов и с учетом того, что обкладки конденсатора имеют одинаковые по величине заряды q, но разного знака, получим

W = - = = = = .

Плотность энергии электрического поля. На примере поля плоского конденсатора выразим энергию поля через его напряженность. Для конденсатора и Δφ = Ed. Отсюда

В однородном поле конденсатора его энергия распределена равномерно по всему объему поля V = Sd.

Объемная плотность энергии электростатического поля плоского конденсатора w:

,

где - электрическое смещение.

Это выражение верно для любого распределения зарядов. При непрерывном распределении заряда с плотностью ρ по объему V и с плотностью σ по поверхности S для проводника или наэлектризованного диэлектрика, полная энергия системы зарядов определяется по формуле:

W = φ ∙ ρ ∙ dV + φ ∙ σ ∙ dS).

3. МНОГОВАРИАТИВНЫЕ ЗАДАНИЯ С ПРИМЕРАМИ РЕШЕНИЙ

3.1. Взаимодействие точечных зарядов.

Напряженность и потенциал поля системы точечных зарядов

ЗАДАНИЕ №1

Д ва точечных заряда и расположены в среде диэлектрической проницаемостью в точках А и B соответственно, расстояние между которыми (см. рис 14).

Рис. 14

Определить:

- силу кулоновского взаимодействия между зарядами и ;

- напряженность поля E_c в точке С на отрезке АВ на расстоянии r_c =АС;

- напряженность поля E_d в точке D, удаленной на расстояние AD=a и BD=b;

- силу F_C с которой электрическое поле этих зарядов действует на заряд q₃, помещенный в точку С.

Данные для разных вариантов: