Курсовая работа (т): Геометрические построения одной линейкой

Геометрические построения одной линейкой

Курсовая работа

Геометрические построения одной линейкой

Введение

Впервые с геометрическими задачами на построение учащиеся сталкиваются в 7 классе средней школы.

Эти задачи помогают закрепить на практике ранее полученные теоретические знания.

Задачи на построение развивают геометрическую интуицию, логическое мышление, конструктивные способности. Так же увеличивают уровень осмысленности математического содержания.

Чтобы решить задачу на построение необходимо выполнить четыре этапа:

.        Анализ

.        Построение

.        Доказательство

.        Исследование

В первом этапе учащийся тщательно изучает задачу, что приводит к установлению связей между данными и искомыми элементами и что показывает пути решения. Во втором - выполняется собственно построение. Учащийся на основе выводов анализа и данных элементов производит синтез, приводящий к построению фигуры с помощью тех инструментов, которые указаны в условии задачи. Следующий этап - доказательство того, что данная фигура является искомой. Необходимо убедиться в том, что построенная фигура удовлетворяет требованиям задачи. Учащийся приобретает навык построения доказательства, соответствующего поставленному условию. Заключительным этапом работы с задачей на построение является исследование. В ходе исследования выясняется единственность построения и условия, при которых оно не может быть совершено.

Мы видим, что при решении задач на построение учащиеся применяют различные способности и умения. Все это приводит к еще большему математическому развитию.

При ознакомлении с методами геометрических построений учащиеся получают теоретические знания и практические умения, ориентирование в вопросах конструктивной геометрии.

Изучение методов геометрических построений помогает усилить творческие способности учащихся, расширить выбор способов решения, организовать процесс решения задач.

Таким образом, цель моей работы: изучить и продемонстрировать метод решения задач на построение с помощью одной линейки.

Для достижения цели необходимо выполнить следующие задачи:

.        Рассмотреть теоретический материал, касающийся задач, решаемых ограниченными средствами;

.        Рассмотреть теорему Штейнера - Понселе;

.        Решить задачи на построение с помощью одной линейки;

.        Рассмотреть задачи школьного курса геометрии, решаемые циркулем и линейкой, и решить их одной линейкой.

1.      Историческая справка

геометрия штейнер циркуль линейка

В IV-V вв. до нашей эры геометрические построения привлекли внимание греческих математиков. Почти все крупные греческие геометры занимались ими: Пифагор, Гиппократ, Евклид и многие другие.

История геометрии и некоторых разделов математики тесно связана с теорией геометрических построений. Важнейшие аксиомы геометрии, сформулированные Евклидом, показывают, что геометрические построения сыграли большую роль в формировании геометрии. Постулаты Евклида, указывающие на основное положение конструктивных методов в геометрии древних: «От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию», «Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать», «Из всякого центра и всяким раствором может быт описан круг».

«Истинно геометрическими» построениями считались только построения, производимые циркулем и линейкой. В школьном курсе геометрии данная традиция сохранилась до нашего времени.

Однако греческие математики применяли и другие средства при решении задач на построение. Например, Платон решал задачу об удвоении куба с помощью двух прямых углов. Архимед дал решение задачи о трисекции угла с помощью линейки с двумя пометками.

В средние века большое количество математиков занималось геометрией, но больших успехов в области конструктивной геометрии не было достигнуто.

Только в XVII-XX вв. теория геометрических построений стала развиваться дальше. С геометрическими построениями тесно связались аналитическая геометрия, проективная геометрия, начертальная геометрия, теория алгебраических уравнений и др. Также разрабатывается теория геометрических построений с помощью инструментов, отличных от принятых древними.

Исследование вопроса о решении только линейкой задач, разрешимых с помощью циркуля и линейки, привлекло внимание таких математиков как Я. Штейнер и Ж.В. Понселе.

Якоб Штейнер - немецкий математик, основатель синтетической геометрии кривых линий и поверхностей 2-го и высших порядков. Родился в 1796 г. в Утценедорфе (близ Золотурна в Швейцарии). Получил образование в Ифертене у Песталоцци, в 1818 г. поступил в гейдельбергский университет. Окончив там образование в 1821 г., поступил в Берлине учителем в частный институт Пламанна. С 1825 по 1835 г. был учителем математики в берлинском городском промышленном училище, а с 1835 г. начал преподавание в берлинском университете в качестве экстраординарного профессора математики. В 1834 г. был избран членом берлинской академии наук. Умирая в 1863 г. в Берне, он завещал 8000 талеров берлинской академии наук для премии за сочинения по синтетической геометрии. Его собственные работы по геометрии, частью помещенные в различных научных журналах, частью оставшиеся в рукописях, а также его лекции в берлинском университете послужили основанием для издания в 1867 г. книги под заглавием: «Jacob Steiner’s Vorlesungen über Syntetische Geometrie, bearbeitet von Geiser und Schröter». Все его сочинения («Gesammelte Werke von Jacob Steiner») изданы Вейерштрассом в Берлине в 1882 г.

Жан-Виктор Понселе - французский математик, инженер и генерал. Родился в 1788 г. в Метце. Образование получил в Политехнической школе (1807), из которой выпущен подпоручиком инженеров. В 1812 г., в чине поручика, после участия в укреплении острова Валхерена, был послан вслед за армией, идущей в Россию. В бою под Красным, тяжело раненый, попал в плен и был приведен в Саратов, где пребывал до возвращения в 1814 г. во Францию. В течение этого времени написал семь тетрадей, изданных впоследствии (в 1862-1864 г.) под заглавием: «Applications d’Analyse et de Géometrie». С 1815 по 1820 он написал «Traité des propriétés projectives des figures». Второй том этого трактата был напечатан в 1866 г., после 2-го издания (в 1864 г.) первого тома. В «Traité des propriétés projectives des figures» и в нескольких статьях, помещенных в «Annales Math. Gergonne», изучаются свойства прямых, кругов и конических сечений, рассматриваемых как центральные или перспективные проекции других фигур того же рода, затем изучаются геометрические свойства многоугольников, вписанных в конические сечения и описанных около них, излагается теория взаимных полюсов и поляр, теория центров подобия фигур, геометрические свойства общих касательных к двум коническим сечениям и взаимно прикасающихся фигур и т.п. Кроме статей по геометрии, помещенных в «Ann. Gergonne», есть статьи Понселе в «Corresp. math. Quetelet» о теоремах относительно кривых линий 3-го порядка, в «Mém. savans étrang.» исследование о вычислении рядов и в «Nouv. ann. math.» об одной поверхности 4-го порядка.

В настоящее время теория геометрических построений представляет собой обширную и глубокую развитую область математики, связанную с решением разнообразных принципиальных вопросов, уходящих в другие ветви математики.

2.      Теоретический материал

2.1 Основания конструктивной геометрии

Фигурой в геометрии называют любую совокупность точек (содержащую по крайней мере одну точку).

Примерами фигур могут служить: точка, пара точек, прямая (рассматриваемая как совокупность принадлежащих ей точек), пара параллельных прямых, отрезок (фигура, состоящая из двух точек и всех точек прямой, лежащих между ними), интервал (совокупность всех точек, лежащих между двумя данными точками прямой), луч (фигура, состоящая из некоторой точки прямой и всех точек этой прямой, расположенных по одну сторону от этой точки) и др.

Основным понятием конструктивной геометрии является понятие построить геометрическую фигуру. Конкретный его смысл известен из практики, где оно означает то же, что «начертить», «провести» (линию), «отметить» (точку) и т.п.

Наиболее употребительными инструментами геометрических построений являются: линейка (односторонняя), циркуль, двусторонняя линейка (с параллельными краями) и некоторые другие.

Остановимся на аксиомах линейки и двусторонней линейки.

1.      Аксиома линейки. Линейка позволяет выполнить следующие геометрические построения:

·        Построить отрезок, соединяющий две построенные точки;

·        Построить прямую, проходящую через две построенные точки;

·        Построить луч, исходящий из построенной точки и проходящий через другую любую построенную точку

2.      Аксиома двусторонней линейки. Двусторонняя линейка позволяет:

·        Выполнить любое из построений, перечисленных в аксиоме 1.;

·        В каждой из полуплоскостей, определяемых построенной прямой, построить прямую, параллельную этой прямой и проходящую от нее на расстоянии h, где h - фиксированный для данной линейки отрезок (ширина линейки);

·        Если построены две точки A и B, то установить, будет ли AB больше некоторого фиксированного отрезка h (ширина линейки), и если AB>h, то построить две пары параллельных прямых, проходящих соответственно через точки A и B и отстоящих на расстоянии одна от другой на расстоянии h.

2.2 Проективные факты

Предмет проективной геометрии

Исторически понятие проективной геометрии возникло из практических соображений, а именно, при изображении пространственных фигур на плоскости.

Пусть глаз наблюдателя находится в точке S. Чтобы получить на плоскости  изображение фигуры F, которое производит то же впечатление, что и сама фигура, надо через каждую точку M фигуры F провести прямую SM и найти точку  пересечения этой прямой с плоскостью . Точка  называется центральной проекцией точки M на плоскость  из центра S. Искомая фигура F - множество центральных проекций всех точек фигуры F.

Рассмотрим случай центрального проектирования плоскости  на плоскость из точки S, не принадлежащей этим плоскостям. Это проектирование не является отображением  в , так как для точки  такой, что SA ||  нет образа; такие точки на α образуют прямую, где , где β ||  и .

Так же не все точки плоскости  будут служить образами; такие точки образуют прямую , где γ || α и .

Для каждой точки A прямой u плоскости  в плоскости  однозначно определяется семейство прямых  параллельных прямой SA (рис. 1).

Аналогично, для каждой точки  прямой  плоскости  однозначно определяется семейство прямых  параллельных прямой (рис. 2).

К каждому семейству параллельных прямых плоскостей  и  присоединим некоторые объекты, которые будем называть несобственными точками и обозначать .

Множества  и   назовем расширенными плоскостями, а каждую прямую с присоединенной к ней несобственной точкой −  − расширенной прямой.

На расширенной плоскости:

. Любые две расширенные прямые пересекаются.

. Каждая прямая пересекается с множеством  всех несобственных точек в единственной точке. Поэтому  естественно назвать несобственной прямой.

. Через две точки расширенной плоскости проходит единственная прямая.

Понятие расширенной плоскости можно обобщить на случай пространства. Всем параллельным между собой прямым пространства присоединяется одна общая несобственная точка. Получаем расширенное пространство. Множество несобственных точек, присоединенных к прямым, параллельным некоторой плоскости, назовем несобственной прямой, которая является общей для всех плоскостей, параллельных упомянутой плоскости. Множество всех несобственных точек расширенного пространства назовем несобственной плоскостью.

Рассмотрим соответствие между расширенными плоскостями  и  по закону:

. Собственной точке M, не принадлежащей прямой u соответствует точка .

. Собственной точке M, принадлежащей прямой u соответствует точка , присоединенная к семейству прямых плоскости , параллельных прямой SM.

. Несобственной точке , присоединенной к семейству параллельных прямых, не содержащему прямую u, соответствует точка , такая, что  параллельна прямым семейства, к которому присоединена точка .

. Несобственной точке , присоединенной к семейству прямых, параллельных прямой u соответствует несобственная точка, присоединенная к семейству прямых, параллельных прямой плоскости .

Это соответствие является биекцией и называется перспективным отображением расширенной плоскости  на расширенную плоскость . Сужение этого отображения на множество точек расширенной прямой  плоскости  естественно назвать перспективным отображением расширенной прямой  на расширенную прямую .

Исторически сложилось так, что расширенное пространство назвали проективным пространством, расширенную плоскость − проективной плоскостью, расширенную прямую - проективной прямой.

Свойства фигуры, которые сохраняются при всех перспективных отображениях, являются проективными свойствами.