Курсовая работа (т): Геометрические построения одной линейкой

Проективная геометрия изучает проективные свойства фигур проективного пространства.

При перспективном отображении несобственные точки могут отображаться в собственные и наоборот, несобственная прямая − в расширенную прямую и наоборот. Таким образом, несобственная точка, несобственная прямая не являются проективными понятиями, поэтому, с точки зрения проективной геометрии, все точки проективного пространства являются равноправными, то же относится к прямым и плоскостям.

Теорема Дезарга

Трехвершинником называется фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех прямых, соединяющих попарно эти точки. Указанные точки называются вершинами трехвершинника, а прямые - сторонами.

Формулировка: если прямые, проходящие через соответствующие вершины двух трехвершинников, проходят через одну точку, то соответственные стороны этих трехвершинников пересекаются в точках, лежащих на одной прямой.

Если точка О лежит на одной из прямых АВ, ВС, СА, то утверждение теоремы очевидно. Если какие-нибудь из соответственных вершин трехвершинников ABC и A'B'C' совпадают, то утверждение также очевидно. В самом деле, пусть точки A и A' совпадают. В этом случае точки P и N совпадают с точкой A, поэтому точки M, N, P лежат на одной прямой. Докажем теорему для случая, когда A и A', B и B', C и C' - различные точки.

Рассмотрим проективный репер R=(A, B, C, O) и введем в рассмотрение координаты точек A', B', C' в этом репере. Точка A' лежит на прямой OA с уравнением x₂-x₃=0 и не совпадает с точкой A (1; 0; 0), поэтому ее координаты можно обозначить так A' (a; 1; 1), где а - некоторое действительное число. Аналогично координаты точек B' и C' обозначим так: B' (1; b; 1), C' (1; 1; с).

Найдем координаты точек M, N, P в репере R. Прямые BC и B’C’ задаются уравнениями x₁=0, (bc - 1) x₁ - (c - 1) x₂ + (1 - b) x₃ = 0. Поэтому точка M (0; 1 - b; с - 1). Аналогично получаем координаты точек N и P: N (a - 1; 0; 1 - c), P (a - 1; 1 - b; 0).

Сложное отношение четырех точек

Пусть относительно репера  на проективной прямой точки A, B, C, D имеют координаты: .

Сложным (двойным) отношением четырех точек проективной прямой называется число

.

Свойства сложного отношения четырех точек прямой:

1.      .

.        .

.        Если , то либо, либо .

.        Если , то либо , либо .

Гармонические четверки точек, прямых

Четверка точек проективной прямой называется гармонической, если их сложное отношение равно .

Если , то говорят, что пара точек  гармонически разделяет пару точек , или пара точек гармонически сопряжена с парой точек . Говорят также, что точка  − четвертая гармоническая для упорядоченной тройки точек .

Из свойств сложного отношения для гармонической четверки следует , то есть пары точек равноправны и точки одной пары равноправны.

Аналогично определяется гармоническая четверка прямых пучка.

Полным четырехвершинником называется совокупность четырех точек общего положения и шести прямых, попарно соединяющих эти точки.

Точки A, B, C, D называются вершинами, прямые, попарно соединяющие эти точки, - сторонами четырехвершинника.

Стороны, не имеющие общих вершин, называются противоположными сторонами.

Точки , ,  пересечения противоположных сторон четырехвершинника называются диагональными точками.

Прямые PQ, , , соединяющие попарно диагональные точки, называются диагоналями четырехвершинника.

Инволюция

Пусть проективное преобразование прямой задано тремя парами соответствующих точек (A, A'), (B, B'), (C, C'). Так, что A'=B, B'=A, т.е. на самом деле имеем четыре точки A, B, C, C', и точка A переходит в B, B в A, C в C'. Такое проективное преобразование называется инволюцией.

Покажем, что при инволюции для любой точки X и ее образа X' точка X' переходит в X''=X.

Будем иметь (AB, XX') = (BA, X'X'') и т.к. (AB, XX') = (BA, X'X), то (BA, X'X'') = (BA, X'X); отсюда следует, что X''=X.

Инволюция вполне определяется заданием двух пар соответствующих точек (X, X'), (Y, Y'). Будем иметь на самом деле четыре пары соответствующих точек (X, X'), (X', X), (Y, Y') (Y', Y), но проективное преобразование вполне определяется уже тремя парами соответствующих точек.

Учитывая, что (XY, O_∞) = (X'Y', O_∞) = -1, получим:

Тогда XO=λOY, X'O = OY'. Отсюда XO•X'O = YO•Y'O.

Таким образом, произведение расстояний двух соответствующих точек до центра есть величина постоянная.

Через точки X, X' и через точку P, не лежащую на прямой l, проведем окружность ω, а через точки Y, Y' и P проведем окружность ω'. Обозначим Q - вторую точку пересечения окружностей ω и ω' (P=Q в случае касания окружностей). Прямая PQ является радикальной осью построенных окружностей.

Пусть O - точка пересечения прямой PQ с l.покажем, что O - центр инволюции на прямой, заданной точками X, X', Y, Y'. По свойству секущей имеем: OX•OX' = OP•OQ = OY•OY' = const, т.е. O - центр инволюции.

2.3 Теорема Штейнера - Понселе

Формулировка: всякая геометрическая задача на построение фигуры, состоящей из конечного числа точек, разрешимая циркулем и линейкой, может быть решена одной линейкой, если на плоскости построена какая-либо окружность и отмечен ее центр.

Это предположение было установлено Я. Штейнером в 1833 году. Без доказательства оно было приведено еще в 1822 году французским геометром Понселе в его «Трактате о проективных свойствах фигур». Поэтому эта теорема имеет такое название.

Доказательство:

Всякое построение, выполняемое с помощью циркуля и линейки, стоит из ряда операций, в число которых, кроме операций с линейкой, могут входить операции с участием циркуля. Эти последние сводятся в конечном счете к определению точек пересечения: 1) окружности и прямой и 2) двух окружностей. Попытаемся показать, что эти операции выполнимы с помощью одной линейки при наличии заданной окружности и ее центра. При этом всякая другая окружность, заданная центром и точкой, не может быть построена целиком, но достаточно показать, что можно построить сколь угодно много точек окружности.

Итак, пусть дана окружности ω₁ с центром O₁ и требуется построить точки пересечения окружности ω, заданной центром O и точкой A, с данной прямой d.

Можно построить точку B окружности ω, диаметрально противоположную точке A. Для этого нужно построить прямую, параллельную d и проходящую через точку O (задача 2, 3.2). Это будет четвертая гармоническая точка для точек O, L_∞, A, где L_∞ - несобственная точка прямой d. Построим основание l перпендикуляра, проведенного из точки B на прямую O₁A и основание N перпендикуляра, проведенного из точки A на прямую O₁B (задача 3, 3.2). Точки M и N принадлежат окружности ω. Для них можно найти диаметрально противоположные точки окружности ω.

Таким образом, если точки O₁, O, A не лежат на одной прямой, то будем иметь шесть различных точек окружности ω. Тогда, из того, что любая пара соответствующих прямых будет пересекаться в точке на окружности ω, следует, что можем строить сколь угодно много точек окружности ω.

Если точки O₁, O, A лежат на одной прямой, то можно построить точки M, N, K окружности ω, не лежащие на этой прямой. Для произвольной точки X плоскости, не лежащие на прямой OA, строим в треугольнике O₁XB ортоцентр (дважды применяем задачу 3, 3.2). Тогда можно построить перпендикуляр, проведенный из точки O₁ к прямой BX. Затем через точку A провести прямую l, параллельную этому перпендикуляру (задача 2, 3.2). Точка M пересечения прямой l с прямой BX будет принадлежать окружности ω. Аналогично строятся точки N и K.

Итак, на окружности ω будем иметь пять различных точек A, B, M, N, K. Проективное соответствие между пучками П(A) и П(B) такое, что прямые AM и BM, AN и BN, AK и BK являются соответствующими, определяют точки окружности ω. Пусть точки M₁, N₁, K₁, M'₁, N'₁, K'₁ - точки пересечения прямой d с прямыми AM, AN, AK, BM, BN, BK соответственно. Тогда на прямой d определяется проективное преобразование тремя парами соответствующих точек (M₁, M'₁), (N₁, N'₁), (K₁, K'₁). Точки P и Q пересечения прямой d с окружностью ω будут неподвижными точками этого преобразования. Таким образом, показали, что если на плоскости задана окружность и ее центр, то с помощью одной линейки можно построить точки пересечения любой прямой и окружности.

Чтобы построить точки пересечения двух окружностей, достаточно построить радикальную ось этих окружностей. Тогда точки пересечения этой прямой с одной из окружностей будут искомыми точками

Выбрав по одной точке на каждой из окружностей, проведем через них прямую и найдем вторые точки пересечения этой прямой с каждой из окружностей. Тогда (см. 2.2.5. инволюция) точка пересечения этой прямой с радикальной осью будет центром инволюции, определяемой двумя парами соответствующих точек. Построение центра инволюции возможно с помощью одной линейки.

Проделав то же самое еще с одной парой точек этих окружностей, найдем еще одну точку радикальной оси. Тогда можно построить радикальную ось.

Таким образом, теорема Понселе - Штейнера доказана.

2.4 Лемма о трапеции

Формулировка: прямая, соединяющая точку пересечения диагоналей трапеции с точкой пересечения продолженных ее боковых сторон, делит оба основания трапеции пополам.

Доказательство: ABCD - данная трапеция, АВ и СD - её основания, О - точка пересечения диагоналей, Р - точка пересечения продолженных боковых сторон, М и N - точки пересечения прямой ОР с основаниями трапеции.

Из подобия треугольников АОМ и СОN следует, что АМ: СN = ОМ: ОN, а из подобия треугольников BОМ и DОN следует, что ВМ: DN = ОМ: ОN. Из двух последних пропорций следует: АМ • DN = СN • ВМ. (1)

Из подобия треугольников АРМ и DРN следует, что АМ: DN = РМ: РN, а из подобия треугольников ВРМ и СРN вытекает, что ВМ: СN = РМ: РN. Из этих двух пропорций заключаем, что АМ • СN = DN • BM. (2)

Из соотношений (1) и (2) заключаем, что АМ² = ВМ², откуда АМ = ВМ. Теперь уже не составляет труда убедиться, что DN = СN.

3.      Задачи на построение, решаемые одной линейкой

3.1 Проективные факты в решении элементарно-геометрических задач

.        Даны две различные параллельные прямые. Пользуясь одной линейкой, разделить данный угол пополам.

Решение:

)        Точка P=AB∩l, точка Q=BC∩l;

2)      Точка A=AB∩a, точка C=AC∩a;

)        Проведем прямые AQ, PC;

)        Точка D=AQ∩PC;

)        Проведем прямую BD;

)        Точка K=PQ∩BD;

)        Т.к. прямые a, l параллельны, то точка L - несобственная точка и из определения сложного отношения получаем (PQ, KL) = - (PQ, K), т.е. (PQ, K) = 1 или PK=KQ, а это значит, что K - середина отрезка PQ. Значит, BK - биссектриса угла ABC.

2.      Дана окружность ω с центром O, прямая l и точка P (P∉l, P∉ω). Пользуясь одной линейкой, через точку P провести прямую, параллельную прямой l.

Решение:

)        Пусть прямая l пересекает окружность ω в двух различных точках A и B. Пусть точки A' и B' - точки окружности симметричные относительно точки O соответственно точкам A и B. Тогда AB || A'B'.

Воспроизведем полный четырехвершинник, для которого точки M, N - вершины, A, B - диагональный точки. Точка K - середина хорды AB.

Воспроизведем полный четырехвершинник, для которого точка P - вершина, A, B - диагональный точки. PL || l.

2)      Пусть прямая l касается окружности ω в точке A. AB - диаметр окружности. Проведем через точку P перпендикуляр к диаметру AB. Для этого в треугольнике ABP проведем высоты. Учитывая свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр, получим, что PM  AB, т.к. AB  l, то PM || l.

Через точку O проведем прямую a, параллельную прямым KL, K'L'. Для этого хорду KL разделим пополам (аналогично случаю 1)), точка H - середина KL. Воспроизведем полный четырехвершинник, для которого точка O - вершина, K, L - диагональный точки.

Точка C=a∩l. C - середина AB. Воспроизведем полный четырехвершинник, для которого точка - вершина, A, B - диагональный точки.

Прямая b || l.

3.      Даны окружность ω, ее диаметр AB и точка M вне (на) окружности. Пользуясь одной линейкой, провести из точки M перпендикуляр к AB.

Решение:

)        Пусть точка M лежит вне окружности ω и M ∉ AB. Учитывая свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр, и то, что высоты треугольника пересекаются в одной точке, строим сначала точку O пересечения высот треугольника AMB. OM - искомый перпендикуляр.