Материал: Гласкер, Дж. Анализ кристаллической структуры

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1. Некоторые сведения о кристалла ческих решетках

Четырнадцать решеток Бравэ включают описан­ ные ниже девять элементарных ячеек плюс решетки с дополнительным центрированием (моноклинная с цен­ трированием на одной грани; ромбическая центриро­ ванная на одной или на всех гранях, а также объемноцентрированная; тетрагональная объемноцентрированная).

Ребра элементарной ячейки обычно обозначают буквами а, Ь, с, а углы между ними а, р, у, причем а является углом между b и с, (3 — между а и с и у — между а и Ь.

* Это значит, что если элементарную ячейку повернуть на 36072=180° вокруг оси, параллельной Ь, то полученная таким об­ разом ячейка, очевидно, будет идентична первоначальной.

просто увидеть, рассматривая изображение одной элементарной ячейки, ибо представление ребер ячейки в виде сплошных линий не позволяет полностью охарактеризовать симметрию. Если же показать только точки решетки в слое, нормальном к единичной (с)

Приложение 2. Обратная решетка

Наиболее простой способ выражения связи между кристаллической и обратной решетками заключается в использовании векторов. Если обозначить векторы фундаментальных трансляций кристаллической решет­ ки через а, b и с, объем элементарной ячейки — через Ус, а для обратной решетки использовать те же сим­ волы, но со звездочками, то между двумя решетками будут иметь место следующие соотношения:

где

Кс = а - Ь Х с = 1 /VI

Таким образом, векторы кристаллической и об­ ратной решеток ориентированы следующим образом:, любая фундаментальная трансляция одной решет­ ки перпендикулярна' двум другим фундаментальным

обратной решеток образуют сопряженный'набор', по-1 следний термин используют в тензорном исчислении. Он означает, что скалярное произведение любых

ров двух решеток равно нулю, поскольку, как уже указывалось, эти векторы взаимно перпендикулярны. Это выражается следующим условием:

■ Как подчеркивалось в разделе «Дифракция' от регулярных массивов» (стр. 37), если структура раз­ мещена на какой-либо решетке, то ее дифракцион­ ная картина с необходимостью размещена на решет­ ке, обратной к исходной. Тот факт, что любая фундаментальная трансляция кристаллической решет­ ки ■перпендикулярна двум-другим фундаментальным.

трансляциям обратной решетки и наоборот, является частным случаем более общего соотношения: каж­ дый вектор обратной решетки перпендикулярен некоторой плоскости кристаллической решетки и, наоборот, каждый вектор кристаллической решетки перпендикулярен некоторой плоскости обратной решетки. Более того, если индексы плоскости кристалла есть (hkt) (в смысле, указанном в под­ писи к рис. 3), то вектор обратной решетки Н, пер­ пендикулярный к этой плоскости, является вектором, проведенным из начала обратной решетки в точку с индексами hkl. Это выражается следующим соот­ ношением:

Н = Ла* + ЛЬ* + /с*.

Для моноклинной элементарной ячейки

dI00 = asinp = -p-

(см. приложение 4, где проиллюстрировано это со­ отношение, а также рис. 3). Для рефлекса 100 мо­ жет иметь место следующее соотношение:

I Н | = | ha.' | = h/dm .

Сравнение этого уравнения с уравнением Брэгга для рефлекса 100 с соответствующими значениями d и 0

ЛЯ = 2с?sin 0, или h/d = ^-~^~

показывает, что в этом случае

Это соотношение является совершенно общим.

Приложение 3. Эквивалентность дифракции от ре­ шетки и уравнения Брэгга

(Приведенный здесь вывод заимствован из ра-

ббты [3]).

Для простоты ограничимся рассмотрением ди­ фракции от двумерной ортогональной решетки (пря­ моугольной сетки) и . заметим, что приведенный

ниже анализ может быть обобщен на три измерения и неортогональный случай. Предположим, что пе­ риоды решетки совпадают с параметрами элемен­ тарной ячейки а и b и что падающие рентгеновские пучки образуют угол ф с направлением а решетки.

Рассмотрим рассеяние в направлении ф' по отно­ шению к направлению а. Поскольку а и b — тран­ сляции решетки, каждый атом в структуре пе­ риодически повторяется, причем расстояния между ближайшими атомами равны а и Ь. Таким образом, можно считать, что атомы находятся в узлах решет­ ки, как это показано на рис. П3.1 (атомы могут присутствовать также и в других точках, расположен­ ных между узлами решетки и отделенных от анало­ гичных точек соседних элементарных ячеек одинако­ выми расстояниями). Если рассеяние происходит в направлении, обозначенном г|/, то излучение, рассе­ янное в этом направлении от любой точки решетки, должно в точности совпадать по фазе с излучением, рассеянным от любых других точек решетки. (Если рассеяние от любых двух точек решетки немного смещено по фазег то разность фаз для другой пары точек решетки будет несколько иной, а полная сумма по всем точкам решетки в предположении, что кри­ сталл является бесконечным, будет состоять из