Материал: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Дементьева А.М., Артыщенко С.В

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Воронежский государственный архитектурно-строительный университет

А.М. Дементьева, С.В. Артыщенко, В.А. Попова

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Учебное пособие

Рекомендовано редакционно-издательским советом Воронежского архитектурно-строительного университета

в качестве учебного пособия для студентов заочной формы обучения всех специальностей

Воронеж 2010

1

ВВЕДЕНИЕ

Пособие по интегральному исчислению предназначено для студентов заочной формы обучения, но, безусловно, может быть использовано и студентами дневной формы всех специальностей ВГАСУ.

Без интегралов не может обойтись ни физика, ни химия, ни теоретическая механика, ни строительная механика и т.д. и т.п., а значит, практически все инженерные дисциплины.

Вэтом пособии рассмотрены почти все виды используемых на практике интегралов: определенных, двойных, тройных и криволинейных. Для их вычисления нужно уметь находит неопределенные интегралы – им посвящена первая глава. В этой главе рассмотрены методы интегрирования, решено большое количество примеров; при этом авторы старались объяснить идеи выбора применения того или иного метода. Первая глава самая трудная, постарайтесь разобраться во всех нюансах решения разобранных примеров.

Разобравшись в неопределенных интегралах, можно приступить к изучению остальных глав, в которых подробно рассмотрены задачи, порождающие определенные, двойные, криволинейные интегралы и т.д. Идеи решения таких задач похожи, с помощью этих идей обобщаются формулы вычисления различных величин. Все эти формулы получаются применением предельного перехода, причем очень естественно.

Авторы настоятельно советуют внимательно читать и разбирать теоретические вопросы, прежде чем использовать полученные формулы для вычисления интегралов (их использование достаточно простое для читателя, освоившего первую главу).

Во второй и третьей главах подробно разобрано множество примеров и задач, объясняется выбор формулы при решении каждой задачи.

Авторы надеются, что данное пособие поможет читателям в освоении материала – сложного и очень важного для дальнейшего обучения.

1.НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1.1.Первообразная и неопределенный интеграл

Вдифференциальном исчислении по функции f(x) строилась другая функция f ´(x), называемая производной функции f(x). В интегральном исчислении одна из задач – по известной производной некоторой функции отыскать эту функцию. Иными словами, рассматривается задача, обратная задаче дифференцирования.

Определение 1.1. Функция F(x) называется первообразной функции

f(x) на некотором промежутке, если во всех точках этого промежутка выполняется равенство F′(x) = f(x).

Пример 1.1. Найти первообразную от функции f(x) = x2.

3

первообразная, то эта первообразная не является единственной. Так, в предыдущем примере можно было взять в качестве первообразных функций

исчерпываются все первообразные от функции x2. Это вытекает из следующей теоремы.

при любом значении x на отрезке [a, b].

Обозначим: F1(x) ─ F2(x) = φ(x). Тогда на основании равенств (1.1)

при любом значении x на отрезке [a,b], откуда следует, что на отрезке [a,b] φ(x) есть постоянная. Чтобы убедиться в этом, вспомним теорему Лагранжа.

Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка [a, b] найдется, по крайней мере, одна точка с, a < c < b, что

f (b) − f (a) = f ′(c)(b − a) .

Вспомним, что любая дифференцируемая функция непрерывна, поэтому первообразные F1(x) и F2(x) от функции f(x) и функции

ϕ(x) = F1 (x) − F2 (x) удовлетворяют условию теоремы Лагранжа на отрезке

4

[a, b]. Какова бы ни была точка x [a, b], в силу теоремы Лагранжа

ϕ(x) −ϕ(a) =ϕ′(ξ)(x − a) ,

где a < ξ < x. Из (1.2) φ´(ξ) = 0, т.е. φ(х) – φ(a) = 0 или ϕ(x) =ϕ(a) .

Таким образом, функция φ(x) в любой точке x отрезка [a, b] сохраняет значение φ(a), т.е. функция φ(x) является постоянной на отрезке [a, b].

Из доказанной теоремы следует, что если для данной функции f(x) на некотором отрезке найдена какая-нибудь одна первообразная F(x), то на этом отрезке любая другая первообразная f(x) имеет вид F(x)+С, где С = const.

Определение 1.2. Если функция F(x) является первообразной для функции f(x), то выражение F(x) + С называется неопределенным интегралом

от функции f(x) и обозначается символом ∫ f (x) dx. Иными словами,

Функцию f(x) называют подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, знак ∫ − знаком интеграла, х - переменной интегрирования.

Заметим, что неопределенный интеграл – это семейство функций, отличающихся в каждом промежутке области определения на постоянную. Исходя из этого два неопределенных интеграла будем считать равными, если производные от этих интегралов совпадают.

Нахождение первообразной для данной функции f(x) называется

интегрированием функции f(x).

Свойства неопределенного интеграла

Свойство 1.1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

(учитываем определение дифференциала функции и формулу (1.4)). Из последнего свойства и формулы (1.3) следует, что подынтегральное выражение равно d(F(x) + C) = dF(x).

5