Материал: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Дементьева А.М., Артыщенко С.В

Свойство 1.3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной

∫dF(x)= F(x) + C .

Из формул в свойствах 1.2 и 1.3 видно, что знаки интеграла и дифференциала, взятые в любом порядке, «взаимно уничтожают» друг друга.

Свойство 1.4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

Для доказательства достаточно найти производную правой части этого равенства. Учитывая свойство 1.1, имеем

(∫ f1 (x)dx +∫ f2 (x)dx)′ = (∫ f1 (x)dx)′ + (∫ f2 (x)dx)′ = f1 (x) + f2 (x).

Так как производная правой части равенства (1.6) равна подынтегральной функции неопределенного интеграла, стоящего в левой части равенства (1.6), то (1.6) справедливо.

Свойство 1.5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. если a = const ≠ 0, то

Для доказательства равенства (1.7) найдем производные от левой и правой частей:

(∫a f (x)dx)′ = a f (x), (a∫ f (x)dx)′ = a(∫ f (x)dx)′ = a f (x).

Производные от правой и левой частей равны, следовательно, (1.7) верно.

1.2. Таблица интегралов

Непосредственно из определения 1.2 и таблицы производных вытекает таблица интегралов:

6

Заметим, что формулы 7, 8, 11′, 12, 13′, 14 таблицы интегралов не видны непосредственно из таблицы производных. Их можно проверить дифференцированием, а можно получить, используя методы интегрирования. Например, для формулы 7 имеем

следовательно, формула 12 верна.

Пример 1.2. Найти неопределенный интеграл ∫(2x3 − 3sin x + 5x )dx .

Воспользовавшись свойствами 1.4 и 1.5 и формулами 1 и 3 таблицы интегралов, получим

7

Пример 1.3.

Преобразуем, если удастся, подынтегральную функцию в сумму функций, от которых можно найти интегралы с помощью таблицы интегралов. Для этого разделим числитель дроби на знаменатель почленно,

т.е. 3xx+5 = 3xx + 5x = 3 + 5x . Теперь

формулы 1 и 2 таблицы интегралов.

Пример 1.5. Найти неопределенный интеграл ∫4xx22 ++15dx .

В таблице интегралов есть лишь ∫ x2dx+1 = arctgx + C . Поэтому преобразуем подынтегральное выражение почленным делением числителя на

запишем числитель так, чтобы при почленном делении часть числителя разделилась бы на знаменатель нацело, а вторая часть была бы константой. Получим

применения приходится иногда сначала преобразовывать подынтегральную функцию, используя приемы алгебры, тригонометрии и др.

8

1.3. Интегрирование методом подстановки или замены переменной

Пусть требуется найти интеграл ∫ f (x) dx, причем представить его в

виде суммы табличных интегралов не удается.

Воспользуемся свойством 1.3 неопределенного интеграла о том, что подынтегральное выражение – это дифференциал искомой первообразной. Известно, что дифференциал функции не меняет своего вида от того, является ли аргумент функции независимой переменной или функцией от другой переменной. Поэтому если

∫ f (x)dx = F(x)+ C ,

то f(x)dx = dF(x) и это равенство справедливо и если х независимая переменная, и если х – функция. Иными словами,

f(t)dt = dF(t) (x = t); f(φ(t))dϕ(t) = dF(φ(t)) (x = φ(t)); f(g(x))dg(x) = dF(g(x)) (t = g(x)) и т.д.

∫ f (g(x))dg(x)= F(g(x))+ C .

Вышесказанное дает возможность использовать формулы таблицы интегралов как тождественные равенства, подставляя в них вместо х любые дифференцируемые функции. Например, по формуле 9 таблицы интегралов

известно, что ∫ex dx = ex + C . Поэтому ∫ex2 dx2 = ex2 + C , ∫esin x d sin x = esin x + C

и т.д. Конечно, в подынтегральном выражении обычно присутствует dx , а не dg(x), но можно самим создать дифференциал от некоторой функции, которой мы хотим отвести далее роль переменной интегрирования. Например, докажем формулу 7 из таблицы интегралов, т.е. найдем

∫tgxdx = ∫cossin xx dx . Поскольку sin x – это «почти» производная от cos x ((cos

x)' = – sin x), то попробуем преобразовать подынтегральное выражение, подводя cos x под знак дифференциала. Т.к. df(x) = f ' (x) dx, то

d(cos x) = – sin x dx, откуда sin x dx = – d(cos x). Перепишем искомый интеграл в виде

9

Сравним полученный интеграл с табличным ∫1x dx = ln x + C , – искомый получится из него, если вместо x подставить cos x, т.е.

∫cos1 x d cos x = ln cos x + C . Используя последнее равенство, имеем

∫tgxdx = −ln cos x + C .

Выведем для примера табличную формулу 11', которая в частном случае (a = 1) совпадает с формулой 11.

подынтегральное выражение, по которому нельзя сразу воспользоваться табличной формулой, а нужно сделать еще какие-то преобразования. Кроме того, присутствие функции g(x) вместо переменной интегрирования тоже

создает дополнительные трудности. Поэтому функцию g(x) обозначают другой буквой, например g(x)=t , и в подынтегральном выражении заменяют

В этом примере мы без труда перешли к новой переменной интегрирования, т.к. подынтегральное выражение «легко» выражалось через t = sin x . Конечно, так происходит не всегда.

Рассмотрим, например, ∫ xx+−52 dx . Попробуем найти этот интеграл,

взяв за новую переменную знаменатель дроби, т.е. обозначив t = x − 2 .

10