Материал: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Дементьева А.М., Артыщенко С.В

(B)

Если интеграл ∫P(x, y)dx + Q(x, y)dx не зависит от пути интегрирования, то

(A)

∫P(x, y)dx + Q(x, y)dy = ∫P(x, y)dx + Q(x, y)dy ,

∫P(x, y)dx +Q(x, y)dy − ∫P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 ,

AKB AMB

или, поменяв во втором интеграле направление интегрирования,

∫ P(x, y)dx +Q(x, y)dy + ∫P(x, y)dx +Q(x, y)dy = 0 .

AKB BMA

Так как AKB и BMA – две части замкнутого контура AKBMA, имеем

∫P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 .

от пути интегрирования, то криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру, проходящему через точки A и B , равен нулю.

Очевидно и обратное утверждение: если криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру L ( L D ), проходящему через точки A и B ,

этому контуру равен нулю (по предположению). Разбив контур AKBMA на две части AKB и BMA, представим криволинейный интеграл по замкнутому контуру в виде суммы двух интегралов по AKB и по BMA. Поменяв во

от пути интегрирования, то будем говорить, что криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования в области D . Из рассуждений, приведенных

151

выше, следуют утверждения:

Утверждение 1. Криволинейный интеграл ∫P(x, y)dx + Q(x, y)dy

L

( L D ) не зависит от пути интегрирования тогда и только тогда, когда криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру в D равен нулю, т.

е. ∫P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0.

L

Учитывая утверждение 1, вопрос о выяснении свойств функций P(x, y)

криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру в D равен нулю? Ранее мы встречались с криволинейным интегралом по замкнутому контуру в формуле Грина. Эта формула была справедлива для непрерывных в D функций P(x, y) и Q(x, y), имеющих в D непрерывные частные производные

152

во всех точках области D .

Из утверждений 1 и 2 следует утверждение 3.

Утверждение 3. Условие (3.89) является необходимым и достаточным условием независимости криволинейного интеграла ∫P(x, y)dx + Q(x, y)dy от

L

пути интегрирования в области D (в предположении о непрерывности в D функций P(x, y), Q(x, y), ∂∂Qx и ∂∂Py ).

Пример 3. 26. Вычислить ∫2xy + (x2 + y2 )dy , где L – дуга синусоиды

Полученный определенный интеграл можно вычислить, но не слишком просто. Посмотрим внимательно на подынтегральное выражение в исходном

криволинейном интеграле. В нем P(x, y)= 2xy , а Q(x, y)= x2 + y2 , поэтому ∂∂Py = 2x и ∂∂Qx = 2x . Видно, что условие (3.89) ( 2x = 2x ) выполняется на всей

плоскости xOy . Кроме того, функции 2xy , x2 + y2 и 2x непрерывны на всей плоскости xOy , следовательно, утверждение 3 справедливо на всей плоскости xOy . Делаем вывод, что искомый криволинейный интеграл не

зависит от пути интегрирования. Это означает, что вместо дуги синусоиды можно взять любую линию, соединяющую точки (0,0) и (π,0), например ось

Ox , и в ычислить интеграл по ней. На оси Ox y = 0. Применим для

вычисления исходного криволинейного интеграла формулу (3.81), подставив в подынтегральное выражение ноль вместо y ( x [0,π]). Получим

Рассмотрим условие (3.89) и постараемся извлечь из него еще какую – нибудь информацию о функциях P(x, y) и Q(x, y).

153

Пусть в области D задана функция двух переменных u(x, y), причем функция u(x, y) дифференцируема в D , т.е. существует полный дифференциал этой функции для (x, y) D :

Если предположить, что у функции u(x, y) существуют смешанные частные

Из приведенного рассуждения следует, что если непрерывные функции P(x, y) и Q(x, y) являются частными производными некоторой функции

u(x, y), а именно:

то, во-первых, подынтегральное выражение в криволинейном интеграле ∫P(x, y)dx + Q(x, y)dy , с учётом (3.90), является полным дифференциалом

L

функции u(x, y), т. е. du = P(x, y)+ Q(x, y).

и при этом тождество (3.91) совпадает с условием (3.89).

Из вышесказанного и утверждения 3 делаем вывод: если подынтегральное выражение в криволинейном интеграле является полным дифференциалом некоторой функции двух переменных, то криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования (подынтегральные функции

154

L

подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции u(x, y), т.е.

(доказательство здесь не приводится).

Утверждение 4. Условие (3.92) является необходимым и достаточным для независимости криволинейного интеграла ∫P(x, y)dx + Q(x, y)dy от пути

Нам остается лишь объяснить формулу (3.93). Пусть выбрана некоторая линия L , соединяющая точки (x1, y1 ) и (x2 , y2 ), причем L задана

x1 = x1(t), y1 = y1(t) и x2 = x2 (t), y2 = y2 (t). Вычислим ∫P(x, y)dx + Q(x, y)dy .

L

Воспользуемся формулой (3.83), т.е. подставим в подынтегральное выражение вместо x функцию x(t), а вместо y функцию y(t), t [t1,t2 ].

При выполнении условия (3.92)

= u(x(t), y(t))tt2 =u(x(t2 ), y(t2 ))−u(x(t1 ), y(t1 ))=u(x2 , y2 )− u(x1, y1 ).

1

Формула (3.93) доказана.

Замечание. Теперь мы знаем два критерия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Из этого следует, что из

155