Материал: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Дементьева А.М., Артыщенко С.В

2 1

интегрирования, снова вычислить, ответы должны быть одинаковыми.

15.Что такое якобиан и чему он равен при переходе к полярным координатам.

16.Как записывается интегральная сумма для функции u = f (x, y, z) и

тела V в пространстве?

20. Перейти от криволинейного интеграла по замкнутому контуру ∫(x − 2y)dx к двойному интегралу с помощью формулы Грина. Вычислить полученный двойной интеграл, если контур – это треугольник ABC , где

A(1;2), B(3;2), C(3;1).

пространственной кривой?

161

Оглавление

1.2.Таблица интегралов…………………………………….…… 6

1.3Интегрирование методом подстановки или замены

переменной……………………………………….………….. 9

1.4.Интегралы от некоторых функций, содержащих в

1.7.Разложение правильной рациональной дроби на

простейшие дроби…………………………………………… 28

1.8.Интегралы от некоторых иррациональных дробей……….. 35

1.9.Интегрирование некоторых тригонометрических

выражений…………………………………………….……… 37

Глава 2. Определенные и несобственные интегралы……….………. 42

2.1.Определенный интеграл……………………………..……… 42

2.1.1.Задачи, приводящие к понятию определенного

интеграла…………………………………………………. 42

2.1.2. Определение определенного интеграла…………...…… 44

2.1.3.Свойства определенного интеграла…………………….. 45

2.1.4.Интеграл с переменным верхним пределом……...……. 50

2.1.5.Формула Ньютона-Лейбница…………...………...…….. 51

2.1.6. Замена переменной в определенном интеграле…..…… 53

2.1.7.Интегрирование по частям в определенном

интеграле………………………………………………..... 55

2.1.8.Геометрические приложения определенного

интеграла…………………………………………………. 56

2.1.8.1.Вычисление площадей в прямоугольных

координатах…........................................................ 56

2.1.8.2.Площадь криволинейного сектора в полярной

системе координат………………………………………… 62

2.1.8.3. Вычисление длины дуги плоской кривой……… 65

2.1.8.4.Вычисление объема тела по площадям

параллельных сечений…………………………... 69

2.1.8.5.Объем тел вращения……………..……………… 70

2.1.9. Физические приложения определенного интеграла...… 72

162

2.1.9.1.Вычисление работы……………………………... 72

2.1.9.2. Вычисление пути по известной скорости……… 74

2.2.Несобственные интегралы…………………………………. 74

2.2.1.Несобственные интегралы I рода…………...………….. 75

3.1.Двойные интегралы. Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла……………………………………..…… 82

3.1.1.Задача об объеме цилиндрического тела……………..... 82

3.1.2.Задача о массе неоднородной пластинки………...…….. 83

3.1.3Определение двойного интеграла………………..…….. 85

3.1.4. Свойства двойного интеграла……………...…………… 86

3.1.5.Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат……………………………………………..….. 86

3.1.6. Замена переменных в двойном интеграле…..…….…… 92

3.1.7.Двойной интеграл в полярной системе координат…..... 94

3.1.8.Приложение двойного интеграла………………..….….. 98

3.1.8.1.Вычисление объемов………..…………….…….. 98

3.1.8.2. Вычисление площади плоской фигуры……...… 101

3.1.8.3.Вычисление площади поверхности в пространстве………………………………...…… 102

3.1.9.Механические приложения двойного интеграла…..….. 105

3.1.9.1.Вычисление массы плоской фигуры……...……. 105

3.1.9.2Вычисление моментов и координат центра масс плоской фигуры…………………………………. 106

3.2.Тройные интегралы…………………………………………. 112

3.2.1.Определение тройного интеграла…………...………….. 112

3.3.Криволинейные интегралы (I рода).……………..…………. 118

3.3.1.Определение криволинейного интеграла по дуге I

рода……………………………………………………….. 118

3.3.2. Вычисление криволинейного интеграла I рода..……… 121

3.3.3.Механические приложения криволинейного интеграла

I рода……………………………………………………… 127

3.4.Криволинейные интегралы II рода (по координатам)…….. 132

3.4.1.Определение криволинейного интеграла по дуге II

рода...................................................................................... 132

3.4.2.Вычисление криволинейного интеграла II рода…...….. 135

3.4.3.Приложения криволинейного интеграла II рода...…….. 142

3.4.3.1Вычисление площади плоской фигуры………... 142

3.4.3.2Вычисление работы переменной вектор-силы.... 145

3.4.4.Формула Грина………………………………………...… 146

163