Материал: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Дементьева А.М., Артыщенко С.В

справедливости (3.89) следует (3.92) и, наоборот, из (3.92) следует (3.89). В частности, чтобы выяснить, является ли выражение P(x, y)dx + Q(x, y)dy

полным дифференциалом некоторой функции двух переменных в области, где P(x, y), Q(x, y), ∂∂Py , ∂∂Qx непрерывны и существуют смешанные частные

производные ∂2u и ∂2u , непрерывные в D , то достаточно проверить

∂x∂y ∂y∂x

выполнение условия (3.89) в этой области.

3.4.6. Восстановление функции по ее полному дифференциалу

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = du(x, y) восстановить (т.е. найти) функцию u(x, y). Так как d(u(x, y)+ C)= du(x, y) (C = const ), то, конечно, восстановить ее можно

лишь с точностью до постоянного слагаемого. Для решения этой задачи воспользуемся формулой (3.93), выбрав в ней в качестве начальной точки L конкретную точку (x0 , y0 ) D , а в качестве конечной точки – произвольную

точку (x, y) D (рис. 3.66)

Так как кривую L D можем выбрать любую, то пусть L – это ломаная из двух звеньев, одно из которых параллельно Ox(M 0M1 ), а второе параллельно

Oy(M1M ), см. рис. 3.66. По формуле (3.93)

156

∫P(x, y)dx + Q(x, y)dy = u(M )− u(M0 )= u(x, y)−u(x0 , y0 ).

L

Отсюда

u(x, y)= ∫P(x, y)dx + Q(x, y)dy + u(x0 , y0 )=

Вычислим каждый из получившихся криволинейных интегралов. На отрезке M 0M1 y = y0 , поэтому применим для вычисления криволинейного

На отрезке M1M x = x , т.е. принимает постоянное значение; применим для вычисления криволинейного интеграла по M1M формулу (3.82), подставив

x (считая его постоянным) вместо x в подынтегральное выражение. При этом y [y0 , y] и dx = d(const)= 0. Получим

∫P(x, y)dx + Q(x, y)dy = ∫y (P(x, y) 0 + Q(x, y))dy = ∫y Q(x, y)dy

(здесь под интегралом x считается постоянным). Подставив найденные криволинейные интегралы в формулу для u(x, y), окончательно получим

(4xy + sin x −1)dx + (y + 2x2 − 4cos y)dy

является полным дифференциалом некоторой функции и найти эту функцию.

выражение является полным дифференциалом некоторой функции u(x, y),

причем на всей плоскости xOy , т.к. функции 4xy + sin x −1, y + 2x2 − 4cos y и 4x непрерывны на всей xOy . Найдем u(x, y) по формуле (3.94), взяв в качестве (x0 , y0 ), например, начало координат (0,0). Тогда

157

Замечание. Для криволинейного интеграла II рода по кривой в пространстве тоже решен вопрос об условиях независимости интеграла от пути интегрирования. И снова необходимым и достаточным условием является равенство подынтегрального выражения полному дифференциалу некоторой функции (трех переменных). Иными словами, условие

–необходимое и достаточное для того, чтобы интеграл

∫P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz не зависел от пути интегрирования.

L

Есть также необходимое и достаточное условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования, выражающееся системой равенств частных производных подынтегральных функций:

предполагаются непрерывными в некоторой пространственной области, содержащей кривую L.

Условие (3.96) необходимое и достаточное для того, чтобы выражение P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz было полным дифференциалом

некоторой функции u(x, y, z) в области D .

Если выполнено условие (3.96) и, следовательно, (3.95), то функцию u(x, y, z) можно восстановить по формуле

u(x, y, z)= ∫x P(x, y0 , z0 )dx + ∫y Q(x, y, z0 )dy + ∫z R(x, y, z0 )dy + C ;

x0 y0 z0

Последняя формула – аналог формулы (3.94).

158

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Дорогие студенты!

Вы завершили чтение учебного пособия, посвященного традиционно трудному для студентов разделу высшей математики – интегральному исчислению. Освоение этого раздела вместе с теоретическим материалом требует практики решения большого количества примеров.

Авторы надеются, что Вам удалось разобраться в таком непростом разделе, что Вы освоили технику интегрирования, научились решать многие прикладные задачи. Эти знания, безусловно, помогут Вам в освоении других разделов математики, традиционно следующих за данным. Это поможет Вам освоить такой важный раздел, как дифференциальные уравнения, применять интегрирование при решении задач теоретической механики, строительной механики, физики и многих инженерных дисциплин.

Авторы надеются, что данное пособие будет хорошим подспорьем для студентов как во время аудиторных занятий, так и в процессе самостоятельной работы.

159

Вопросы и задания для самоконтроля

1. Какие из перечисленных интегралов можно найти только с помощью формулы интегрирования по частям:

1)∫xsin x ,

2)∫cos3xdx ,

3)∫ln(x + 2)dx ,

4)∫ x2 +dxx +1 .

7.Чем отличаются формулы интегрирования по частям в неопределенном и определенном интегралах?

8.Какие из перечисленных интегралов являются несобственными:

2)∫2 dx ,

1 3x − 4

3)∫2 (x −1)dx ,

1

4) ∫2 ex−2 dx ,

1

5)∫2 dx .

1 x −1

9.Какую замену переменных нужно сделать в ∫sin 4 x cos5 xdx ?

10. Что представляет из себя неограниченное измельчение разбиения области D на плоскости?

11. Перейти от двойного интеграла ∫∫ f (x, y)dxdy к повторному, если

D

область D ограничена прямыми x = 2 , x = 4 , x + y = 5 и параболой y = x2 + 6 .

160