Материал: Интегрированные информационные системы, информационно-управляющие системы, имитационное моделирование и конфликтология
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В СТРОИТЕЛЬНЫХ, СОЦИАЛЬНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
производится на интервале 0 , либо при дискретном наблюдении длина выборки
n=T/∆t задана. |
|
|
|
|
Принимаемую |
приемником |
величину |
||
утечки запишем в виде реализации |
|
|||
( ) |
s(t)+ξ(t), |
0 |
, |
(1) |
или в виде выборки |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
где xi=x(ti); si=s(ti); ξi=ξ(ti); λ=λ1=1 с вероят-
ностью p1 и λ=λ2=0 с вероятностью p2
(p1+p2=1).
Согласно общей стратегии проверки двухальтернативных гипотез, изложенной в предыдущем параграфе необходимо установить отношение правдоподобия
( ׀ ) |
( ׀ )/ ( ), |
(3) |
где α*- оценка максимального правдоподобия амплитуды искомой утечки.
Учитывая, что функция корреляции шума ( ) ( - символ Кронекера), плотность вероятности ситуации с наличием утечки можно определить как
( ׀ ) |
|
|
[ |
|
( |
) |
|||
|
|
а плотность вероятности альтернативной ситуации (без утечки) будет
( ) |
|
|
( |
|
) |
(5) |
|
) |
|
||||
( |
|
|
|
|
||
Оценка максимального правдоподобия амплитуды утечки α удовлетворяет уравнению, выражающему традиционные условия экстремума
|
( |
) ( |
|
)] |
|
|
(4) |
||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
(6) |
||
|
|
|
|
|
|
||||||
и имеет вид |
|
|
|
|
|
||||||
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
(7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где принята нормировка ∑ |
|
|
. |
||||||||
|
|
Отношение правдоподобия примет вид |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8) |
||
|
|
( |
׀ ) |
[ |
|
|
|
|
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
где |
( ) |
|
( |
|
) - оценка максималь- |
|
и произведен переход к пределу n→∞ ∆t→0, |
|||||||||||||||||||||||
ного правдоподобия отношения сигнал/шум, |
|
n∆t=T, σ2∆t=N0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
определяемая согласно (8) как |
|
|
|
|
|
Таким образом, оценка отношения сиг- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нал/ шум, определяющая алгоритм обнару- |
|||||||||||||
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
(∑ |
) |
(9) |
|
жения представляет собой соответствующим |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
образом нормированный результат квадра- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тичного детектирования выхода корреляци- |
|||||||||||||
При переходе к непрерывному наблю- |
|
онного приемника информации [1]. При оп- |
||||||||||||||||||||||||||||
дению функционал отношения правдоподо- |
|
тимальном обнаружении должно выполнять- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ся сравнение полученного отношения прав- |
|||||||||||||
бия [x(t) | ] |
выражается также соотноше- |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
доподобия с порогом |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
нием (8), где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=[( |
|
) |
( |
|
|
)]( |
), |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
( |
) |
|
|
|
|
|
|
*∫ ( ) ( ) |
+ |
|
|
|
где gij (i,j=1,2) - соответствующие коэффици- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
енты потерь; a2=1, а |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
∫ |
( ) |
|
|
|
(10) |
|
( ) |
( |
) |
|
|
|
|
√ |
|
(11) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
70
ВЫПУСК № 2 (10), 2017 |
ISSN 2307-177X |
поскольку согласно [1] функцию максимального правдоподобия можно считать дважды дифференцируемой и поэтому применить асимптотический метод инте-
грирования Лапласа, основанный на аппроксимации логарифма максимального правдоподобия.
Отсюда порог
[( |
) ( |
)] ( |
)√ |
( ) |
(12) |
|
Если α1=0, то
[( |
) ( |
)] ( |
)√ |
|
(13) |
|
где ∆y - априорный диапазон изменения отношения сигнал/ шум. Выражение (13) остается в силе и при непрерывном наблюдении, когда отношение E/σ2 везде заменяется на
E0/N0.
Алгоритм обнаружения утечки должен состоять из оценки отношения сигнал/ шум h* и сравнении его с порогом lnC12=C. При превышении порога принимается решение о наличии утечки. При достаточно больших величинах априорной вероятности отсутствия сигнала и диапазона изменения отношения сигнал / шум порог оказывается положительным и полученный алгоритм дополнительных пояснений не требует. Однако могут быть соотношения параметров, при которых C< 0. Тогда должно приниматься решение о наличии утечки независимо от результатов наблюдения. Это значит [1], что соблюдаются условия, при которых даже наилучшая обработка информации при наблюдениях не может улучшить априорных данных.
Для получения характеристик обнаружения в приведенном алгоритме обо-
значим |
v=XnTSn, |
a=1/2σ2E, |
тогда |
h*=av2. |
Величина |
v распределена по |
|
нормальному закону с математическим ожиданием
̅ { |
( |
|
) |
(14) |
|
( |
) |
||
|
|
|
||
и с дисперсией |
̅̅̅̅̅̅̅̅̅ |
|
. Отсюда, |
|
( |
̅) |
|
||
обозначая через w(v) плотность вероятности величины v, будем иметь для плотности вероятности величины h* выражение
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
* |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(15) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
( |
√ |
|
)+ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Из соотношения (15) при =0 |
|||||||||||||||
( ) |
{ |
|
|
|
( |
) |
(16) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
и при =1
( |
) { |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(17) |
|
|
, |
* (√ |
|
√ |
) + |
* (√ |
√ ) +- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где h=α2E/2σ2 - истинное отношение сигнал / |
|
ния, если под h* понимать величину (10), а |
||||||||||||||
шум. |
|
|
|
|
|
|
|
|
под h= α2E0/2N0. |
|
|
|
|
|||
Плотности вероятностей (16), (17) от- |
|
|
Вероятность ложной тревоги вычисля- |
|||||||||||||
носятся и к случаю непрерывного наблюде- |
|
ется как [1] |
|
|
|
|
||||||||||
71
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В СТРОИТЕЛЬНЫХ, СОЦИАЛЬНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
∫ ( ) |
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
[ |
(√ )] |
(18) |
||||
|
|
||||||||
|
|||||||||
|
|
√ |
|
|
|
|
|
||
где Ф(...) - интеграл вероятности.
Вероятность правильного обнаружения сигнала определяется как
∫ ( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
, |
|
* (√ |
√ ) + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) (19) |
||||
|
|
* |
(√ |
|
√ ) +- |
|
|
(√ |
√ ) |
(√ |
|
√ |
|
||||||||||||||
Исключая величину С из (18) и (19) для |
|
ром принимается решение о наличии утечки, |
|||||||||||||||||||||||||
различных отношений сигнал / шум h можно |
|
если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
построить |
характеристики |
обнаружения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
D(F), изображенные на рис. 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
(20) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Представляет интерес сравнение полу- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ченных характеристик с соответствующими |
|
или при непрерывном наблюдении |
|
|
|||||||||||||||||||||||
характеристиками для обнаружения при из- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
вестной амплитуде сигнала (известном от- |
|
|
|
|
|
|
∫ |
( ) ( ) |
|
|
|
(21) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
ношении сигнал / шум). В этом случае, со- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
гласно [1], реализуется алгоритм, при кото- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
D |
|
|
|
|
|
0,8 |
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
0,4 |
|
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0,005 |
0,01 |
0,05 |
0,1 |
0,5 |
F |
Рис. 2. Характеристики обнаружения сигнала с неизвестной амплитудой в шуме: 1) h=1; 2) h=3; 3) h=10; 4) случай известной амплитуды сигнала, h=1
Ему соответствуют характеристики об- |
ность судить о проигрыше, получающемся за |
|||||||||
наружения |
|
|
|
|
счет неизвестности амплитуды обнаружива- |
|||||
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
емой утечки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Приведенные соотношения позволяют |
|||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
(22) |
без каких-либо дополнительных построений |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
( |
|
|
|
|
|
√ ) |
составить алгоритм последовательного ана- |
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
√ |
|
|
|
|
лиза. Поскольку оценка отношения сигнал / |
||||
Соответствующая кривая также изоб- |
шум h*(n), полученная на n-ом шаге наблю- |
|||||||||
ражена на рис.2. В результате с помощью |
дений и определяемая выражением (9) пред- |
|||||||||
приведенного рисунка |
появляется возмож- |
ставляет собой логарифм отношения прав- |
||||||||
72
ВЫПУСК № 2 (10), 2017 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ISSN 2307-177X |
|
доподобия на этом шаге, оптимальный алго- |
|
|
отсутствии утечки, |
а если h*(n) |
C2(n) - ре- |
||||||||||||||||||||||||
ритм последовательного анализа сводится к |
|
|
шение |
|
о |
|
|
ее |
|
|
наличии. |
В |
случае |
||||||||||||||||
следующему. На каждом n-ом шаге h*(n) |
|
|
C1(n)<h*(n)<C2(n) - наблюдения продолжа- |
||||||||||||||||||||||||||
сравнивается с двумя порогами C1(n) и C2(n). |
|
|
ются на (n+1)-ом шаге. Пороги определяются |
||||||||||||||||||||||||||
Если h*(n) C1(n),то принимается решение об |
|
|
соотношениями |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
( |
) |
* |
|
√ |
|
|
+ |
* |
|
|
|
√ |
|
|
+ |
|
(23) |
||||||||||||
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
( |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
( |
) |
* |
|
|
√ |
|
|
|
|
( |
) |
+ |
* |
|
|
√ |
|
|
|
( |
) |
+ |
|
(24) |
|||||
|
|
|
( |
|
|
|
|
( |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|||||
где g1(n) и g2(n) -выигрыши от правильных решений, а φ1(n) и φ2(n) - потери от ошибочных решений, если эти решения принимаются на n-ом шаге. В данном случае пороги не зависят от выборки Xn и полностью определяются априорными данными.
Для построения рекуррентного адаптивного алгоритма, согласно [1], необходимо построить рекуррентное соотношение
( ) |
( |
) |
( ) |
[ ( |
)] |
( ) |
(25) |
|
|
|
|
|
Поскольку в данном случае ln h* , то соотношение (25) примет вид
( ) |
( |
) |
( )[ ( |
)] ( ) |
(26) |
где
( )( |
) = ln |
( |
׀ |
|
) |
(27) |
( |
) = ln |
( |
׀ |
) |
|
(28) |
p1(xn | Xn 1, ) , p2 (xn | Xn 1) - |
плотности ве- |
|||||
роятности для Xn |
при наличии и при отсут- |
|||||
ствии утечки соответственно. Согласно (5) будем иметь
( )( ) =ln, |
|
|
|
* |
|
|
|
( |
|
) +- |
|||
( |
) |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( )( )= ln, |
|
|
|
|
* |
|
|
|
+- |
(29) |
|||
( |
) |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
откуда разность будет равна |
|
||||||||||||
( )( ) |
|
|
( ) ( |
|
) |
|
|
|
|
|
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
( ) |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
( |
) *√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) + |
(30) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
( |
) |
|
|
|
|
( |
) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где ( ) ∑ |
и использована найденная |
ранее связь между α* и h*. |
|
Порог, |
с которым сравнивается вели- |
чина h*(n), будет зависеть от n только в случае переменных коэффициентов gij(n) и определяется как
( ) |
* |
( |
) |
( |
) |
|
√ |
|
+ |
(31) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
( |
) |
( |
) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В данном случае логарифм отношения правдоподобия совпадает с оценкой неиз-
вестного параметра обстановки (отношения сигнал/шум). Поэтому лишь одно соотношение (30) полностью определяет алгоритм обнаружения утечки [2, 3, 4] .
Отметим, что найденные правила принятия решений в рассматриваемой задаче оптимальны не только как байесовы адаптивные правила, но они также являются минимаксными.
Задача диагностики утечек [5, 6] комплексно реализуема с задачей статического оценивания [7, 8], с применением математи-
73
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В СТРОИТЕЛЬНЫХ, СОЦИАЛЬНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
ческих моделей анализа потокораспределе- |
3. Николенко, С.Д. Дистанционное об- |
||
ния [9], полученных на основе применения |
наружение утечек в гидравлических систе- |
||
энергетического эквивалентирования [10]. В |
мах с целью обеспечения безопасности |
||
целом, задачу диагностики утечек можно от- |
функционированияпри своевременном пре- |
||
нести к задаче обеспечения безопасного |
дупреждении аварий / С.Д. Николенко, С.А. |
||
функционирования |
рассматриваемых гид- |
Сазонова // Научный вестник Воронежского |
|
равлических систем [11, 12]. Задачи техни- |
государственного архитектурно - строитель- |
||
ческой диагностики реализуемы в рамках |
ного университета. Серия: Информационные |
||
разработанных информационных систем [13, |
технологии в строительных, социальных и |
||
14]. При этом требуется обеспечить инфор- |
экономических системах. - 2016. - № 1 (7). - |
||
мационную безопасность, например, как это |
С. 151-153. |
||
предложено в работах [15, 16, 17, 18, 19]. |
4. Сазонова, С.А. Диагностика несанк- |
||
При рассмотрении задачи обеспечения |
ционированных отборов рабочей среды и |
||
безопасности функционирования и для сни- |
обеспечение безопасности функционирова- |
||
жения риска возникновения аварийных ситу- |
ния гидравлических систем / С.А. Сазонова // |
||
аций, в качестве отдельной самостоятельной |
Моделирование систем и процессов. - 2015. - |
||
задачи можно выделить задачу обеспечения |
Т. 8. - № 1. - С. 51-53. |
||
конструктивной прочности бетонных опор- |
5. Сазонова, С.А. Применение детер- |
||
ных устройств, на которых крепятся газо- |
минированного алгоритма диагностики уте- |
||
проводы. Возведение таких конструкций |
чек в гидравлических системах для обеспе- |
||
необходимо осуществлять по современным |
чения их безопасного функционирования / |
||
технологиям, например, как это показано в |
С.А. Сазонова // Вестник Воронежского ин- |
||
работах [20, 21, 22, 23]. При этом необходи- |
ститута ГПС МЧС России. - 2017. - № 1 (22). |
||
мо исследовать прочностные свойства бето- |
- С. 33-38. |
||
на [24] и применять в нем особо прочные со- |
6. Сазонова, С.А. Методы и алгоритмы |
||
ставляющие, например, использовать фиб- |
технической диагностики систем теплоснаб- |
||
робетон [25, 26] в опорах с целью уменьше- |
жения / С.А. Сазонова, А.Б. Мезенцев // Мо- |
||
ния их деформативности, и соответственно, |
делирование систем и процессов. - 2015. - Т. |
||
пространственных |
перемещений и сдвигов |
8. - № 1. - С. 63-66. |
|
самих труб газопровода. Реализовать неко- |
7. Квасов, И.С. Оценивание парамет- |
||
торые инженерные задачи в удобном для |
ров трубопроводных систем на основе функ- |
||
практического применения виде представля- |
ционального эквивалентирования / И.С. Ква- |
||
ется возможным за счет применения пакетов |
сов, С.А. Сазонова // В книге: Понтрягинские |
||
прикладных программ, например, как это |
чтения - Х, 1999. - С. 219. |
||
предложено в работах [27, 28, 29]. |
8. Сазонова, С.А. Использование зада- |
||
Библиографический список |
чи статического оценивания при техниче- |
||
ской диагностике с целью обеспечения без- |
|||
|
|
||
1. Репин, В.Г. Статистический синтез |
опасности функционирующих гидравличе- |
||
при априорной неопределенности и адапта- |
ских систем / С.А. Сазонова // Вестник Во- |
||
ция информационных систем / В.Г. Репин, |
ронежского института ГПС МЧС России. - |
||
Г.П. Тартаковский. - М.: Советское радио, |
2016. - № 4 (21). - С. 46-50. |
||
1977. - 432 с. |
|
9. Сазонова, С.А. Особенности форми- |
|
2. Сазонова, С.А. Постановка задача |
рования структурных графов для систем |
||
диагностики несанкционированных отборов |
теплоснабжения при анализе потокораспре- |
||
и обеспечение безопасности функциониро- |
деления в задачах обеспечения безопасности |
||
вания гидравлических систем / С.А. Сазоно- |
/ С.А. Сазонова // Научный журнал. Инже- |
||
ва // Моделирование систем и процессов. - |
нерные системы и сооружения. - 2016. - |
||
2015. - Т. 8. - № 1. - С. 54-57. |
№ 1 (22). - С. 106-112. |
||
74