Материал: Использование метода логарифмических амплитудных и фазовых частотных характеристик для синтеза регуляторов манипулятора с гибким стержнем

По оси ординат откладывается модуль в децибелах (дБ). Для этой цели на ней наносится равномерный масштаб. Ось абсцисс должна проходить через точку 0 дБ, что соответствует значению модуля А (ω) = 1, так как логарифм единицы равен нулю.

Ось ординат может пересекать ось абсцисс (ось частот) в произвольном месте. Следует учесть, что точка ω = 0 лежит на оси частот слева в бесконечности, так как lg 0 =-∞. Поэтому ось ординат проводят так, чтобы справа от нее можно было показать весь ход л. а. х. Для построения л. ф. х. используется та же ось абсцисс (ось частот). По оси ординат откладывается фаза в градусах в линейном масштабе (рис. 1.3).

Рис. 1.3

Первой операцией процесса синтеза является построение желаемой ЛАХ. Это построение выполняется на основе требований, которые предъявляются к проектируемой системе управления.

К системам управления обычно в идеале предъявляются следующие требования [15]:

·        устойчивость;

·        нулевая ошибка в установившемся режиме;

·        быстрый и плавный (в идеале - монотонный) переходный процесс;

·        подавление шумов;

·        робастность (нечувствительность к изменению параметров исходной модели системы).

Устойчивость и робастность обеспечивается определенным видом среднечастотного участка ЛАХ. Этот участок расположен слева и справа от частоты среза ω_ср разомкнутой системы управления. На этом участке ЛАХ на частоте среза ω_ср пересекает ось частот, ф. ч. х. на частоте среза желательно иметь от - 150^◦ до - 140^◦, наклон среднечастотного участка ЛАХ должен быть

дб на декаду и на концах требуется обеспечить запасы по амплитуде не менее 12 дб. Низкочастотный и высокочастотный участки ЛАХ должны, по возможности, совпадать с ЛАХ исходной системы, управление которой осуществляется, что приводит к упрощению регулятора системы автоматического управления.

манипулятор амплитудная фазовая частотна логарифмическая

Нулевая ошибка в установившемся режиме обеспечивается введением в регулятор интегрирующего звена.

Скорость переходного процесса обеспечивается выбором частоты среза ω_ср разомкнутой системы управления. Чем больше частота среза, тем время переходного процесса меньше. Плавность переходного процесса зависит от вида среднечастотного участка ЛАХ.

Подавление шумов зависит от частоты среза разомкнутой системы управления. Чем меньше частота среза, тем сильнее происходит подавление шумов. Этот пункт противоречит пункту о скорости переходного процесса. В реальности проектировщик принимает компромиссное решение.

Вторым пунктом синтеза является построение ЛАХ исходной системы.

ЛАХ корректирующего устройства регулятора получается в результате вычитания из ЛАХ желаемой ЛАХ исходной системы.

Завершением процесса синтеза является построение переходного процесса.

1. Постановка задачи исследования

Цель работы - исследовать возможности применения метода логарифмических частотных характеристик для синтеза регулятора системы управления манипулятором с упругим стержнем в качестве рабочего органа.

Цель работы достигается решением следующих задач:

·        формирование математической модели манипулятора с упругим стержнем и грузом, закрепленным на его конце, в безразмерной форме;

·        исследование возможностей метода логарифмических частотных характеристик для синтеза корректирующего устройства регулятора для манипулятора с упругим стержнем и грузом, закрепленным на его конце;

·        исследование адекватность частотных показателей устойчивости и качества регулирования по логарифмическим амплитудным и фазовым частотным характеристикам применительно к системе управления плоским движением манипулятора с вязкоупругим стержнем и грузом, закрепленным на его конце.

1.1 Исходные данные для проектирования манипулятора

Разработать корректирующее устройство для манипулятора добиваясь максимального качества переходных процессов.

Размерная частота среза скорректированной системы управления не должна превышать допустимой для электро-механических систем ≈ (100 - 150) 1/с.

Коэффициент безразмерного внутреннего демпфирования по Фойгту: 4.8E-3.

Безразмерный коэффициент демпфирования серводвигателя k0=0.015.

1.2 Конструктивные параметры манипулятора

Материал стержня - сталь;

Длина стержня - 2 м;

Внешний радиус - 0.004;

Толщина стенки - 0.00049;

Материал вала - титан;

Длина вала - 0.5;

Внешний радиус - 0.022;

Внутренний радиус - 0.01;

Материал груза (форма цилиндр.) - сталь;

Радиус груза - 0.01.

2. Вывод уравнений движения манипулятора с упругим стержнем и закрепленным на его конце твердым телом

2.1 Система автоматического управления манипулятором

Упрощенная схема системы автоматического управления манипулятором изображена на рис.

Рис. 2.1

Основными элементами системы являются следующие. Абсолютно жесткий вал 1, в который одним концом заделан упругий стержень 2. На другом конце стержня расположен захват с рабочим органом манипулятора 3 (например, телевизионная камера). Угол поворота вала 1 измеряется датчиком углового положения 4, например, сельсином. Сигнал датчика угла α₁ (t) поступает на сумматор 5 системы управления манипулятором. Туда же поступает сигнал α₀ (t), задающий программу разворота манипулятора, например, для слежения за каким то объектом. В сумматоре производится вычитание сигналов α₁ (t) и α₀ (t). Задача системы управления манипулятором заключается в обнулении этой разности сигналов. Далее разностный сигнал усиливается 6, преобразуется корректирующим устройством 7, усиливается по мощности 8 и поступает на исполнительный двигатель системы управления 9, который разворачивает вал 1 в соответствии с программным сигналом α₀ (t).

2.2 Механическая схема манипулятора и основные обозначения и упрощения

Для составления уравнений движения манипулятора ниже приведена механическая схема манипулятора с обозначением систем Декартовых координат, связанных с основными механическими объектами манипулятора (рис. 2.4).

Схема составлена с введением некоторых упрощающих предположений.

Рассматриваем задачу об управлении плоским угловым движением манипулятора.

Внутреннее трение в гибком стержне длиной s учитываем по теории Фойгта [16].

В классической механике со времен Ньютона используется модель вязкой жесткости, в которой касательные напряжения пропорциональны скорости деформации сдвига

где η - коэффициент вязкости.

Если рассмотреть сплошную среду, обладающую свойствами вязкой жидкости и упругости, то получим модели вязкоупругости, которые были предложены Фойгтом, Максвеллом и Кельвином в связи с изучением свойств густых растворов и упругих тел.

В дальнейшем оказалось, что модели вязкоупругости пригодны для описания полимерных материалов, имеющих широкое распространение в современной технике.

Рис. 2.2 Модель Максвелла

Модель Максвелла представляет последовательное соединение элемента упругости и элемента вязкости (последний иллюстрируется в виде движения - поршня с зазором внутри цилиндра с вязкой жидкостью.

Модель Фойгта может быть использована для описания микропроцессов в материале, в частности внутреннего трения при переменных напряжениях.

Рис. 2.3 Модель Фойгта

Механическая схема манипулятора:

Рис. 2.4

Обозначим y* (z*,t*) - упругое смещение стержня от оси z*, изменяющееся от 0 в точке О₁ жесткой заделки гибкого стержня в абсолютно жестком вале 1 до = y* (s,t*) на втором конце стержня О₂.

Деформации стержня считаем малыми (иначе манипулятор не смог бы выполнять свои функции).

Учитывая малость деформации стержня, можем записать полярный угол a^* (t^*) выходной точки О₂ гибкого стержня в виде:

,

где s - длина стержня. Причем |y* (s,t*) |=|y₁* (t*) |<<s и |y* (z*,t*) |<<s для z*Î [0, s].

Момент инерции абсолютно жесткого вала 1 обозначим J₀*.

Массу и момент инерции абсолютно жесткого рабочего органа манипулятора 2 обозначим m₂* и J₂* (О₂ - центр массы m₂*).

Управляющий момент, приложенный к валу 1, со стороны исполнительного двигателя обозначим

,

где a₀* - программный угол разворота манипулятора; a₁^{* -} угол поворота вала 1; П - оператор корректирующего устройства; р^* - суммарный коэффициент усиления всех элементов системы управления манипулятором начиная от измерителя углового положения вала 4 и заканчивая исполнительным двигателем 9; k₀^* - коэффициент демпфирования исполнительного двигателя 9; Через L₁^*, L₂^*, N₂^* обозначим моменты сил (L₁^*, L₂^*) и силу (N₂^*) реакции стержня, приложенные к абсолютно жестким телам, соответственно с индексом 1 к валу, а с индексом 2 к исполнительному органу.

2.3 Размерная математическая модель системы управления манипулятором

Дифференциальные уравнения движения системы управления манипулятором запишем, следуя механике Ньютона-Эйлера [1]. Уравнение углового движения абсолютно жесткого вала относительно неподвижной системы координат О₁x*y*z*:

 (2.1)

Уравнение углового движения исполнительного органа манипулятора относительно неподвижной системы координат О₂x*y*z*:

 (2.2)

Уравнение линейного перемещения исполнительного органа

 (2.3)

Уравнение изгиба тонкого стержня 3 запишем, следуя [1] в виде:

 (2.4)

где a₀^* (t^*) - программный угол разворота манипулятора, a^* (t^*) - угол поворота конца стержня и, соответственно, исполнительного органа манипулятора (выходная функция), r - погонная плотность стержня, Е - модуль упругости Юнга материала стержня, J - экваториальный момент инерции поперечного сечения стержня, h - коэффициент внутреннего трения стержня по Фойгту.

Для решения уравнения (2.4) с частными производными необходимо задать граничные условия (значения для изгиба стержня на обоих его концах)

, (2.5)

начальные условия, т.е. условия, накладываемые на углы разворота жестких тел (вала и исполнительного органа) и прогиб стержня в начальный момент времени

, (2.6)

Уравнения (2.1) - (2.3) это обыкновенные дифференциальные уравнения, моделирующие движение абсолютно твердых вала и исполнительного органа манипулятора, а уравнение (2.4) это уравнение с частными производными, моделирующее процессы при изгибе стержня. Для того, чтобы манипулятор превратился в единый объект необходимо увязать между собой абсолютно жесткие тела и гибкий стержень. Взаимодействие между твердыми телами и стержнем происходит через силу N₂^* и моменты сил L₁^*, L₂^*, передаваемые от вала к исполнительному органу через гибкий стержень и наоборот. Запишем уравнения связи [1]:

 (2.7)

.

Уравнения (2.1) - (2.7) моделируют плоское движение манипулятора с учетом гибкости стержня. И являются уравнениями комбинированной системы автоматического регулирования [1].

2.4 Безразмерная математическая модель системы управления манипулятором