Материал: Использование метода логарифмических амплитудных и фазовых частотных характеристик для синтеза регуляторов манипулятора с гибким стержнем

Полученные выше уравнения движения манипулятора являются размерными, т.е. коэффициенты уравнений имеют определенную физическую размерность и их нельзя сравнивать между собой с целью выяснения, какие из них являются существенными для моделирования процессов в манипуляторы, а какие несущественны и могут быть, например, отброшены для снижения трудностей при решении этих уравнений.

Существует специальная наука - “Теория подобия и размерности" [17], которая предписывает, как привести размерные дифференциальные уравнения к безразмерному виду, чтобы можно было сравнивать в уравнениях отдельные члены уравнений и, кроме того, как строить физические модели для проверки правильности принятых решений об отбрасывании некоторых несущественных членов дифференциальных уравнений.

Согласно “Теории подобия и размерности" необходимо выбрать в системе, математическое моделирование которой производится, некоторые, характерные именно для этой системы, параметры, определяющие протекание в системе процессов.

Известно [16], что в гибких стержнях характерные процессы определяются такими параметрами стержней и их материала:

E - модуль упругости материала;

J - момент инерции поперечного сечения стержня;

s - длина стержня;

ρ - плотность материала стержня.

Их этих параметров можно составить комбинацию, имеющую размерность времени . Эта комбинация представляет собой характерное время протекающих в стержнях процессов,

С помощью T можно все процессы в стержне согласовать по времени, введя безразмерное время t = t*/T.

Для приведения различных параметров в дифференциальных уравнениях, имеющих размерность длины, необходимо ввести единые масштабы измерения длин элементов манипулятора. В качестве такой единой линейки выберем самый главный размер, от которого зависит возможность выполнения манипулятором своих рабочих функций. Это будет d - характерный прогиб стержня.

Имея единый масштаб длины можно ввести безразмерные переменные:

y₁= y₁*/δ, y_{1 -} безразмерное упругое перемещение конца стержня;

y=y^*/d, y - безразмерный прогиб стержня;

z=z^*/s, z - безразмерная координата поперечного сечения стержня.

 ,

Здесь a₀, a₁, a₂, J₀, J₁, J₂, m₂, k₀, L₁, L₂, N₂, g - безразмерные значения соответствующих размерных переменных и параметров.

Теперь можно представить уравнения движения манипулятора в безразмерной форме. Окончательно можно записать:

Обыкновенные дифференциальные уравнения движения абсолютно твердых вала и исполнительного органа.

 (2.8)

 (2.9)

Дифференциальное уравнение с частными производными, моделирующее процессы изгиба стержня.

 (2.10)

Граничные условия.

 (2.11)

Начальные условия.

 (2.12)

Уравнения связи абсолютно твердых вала и исполнительного органа через гибкий стержень.

 (2.13)

Проведем прямое интегральное преобразование Лапласа и получим уравнения системы управления манипулятором в изображениях

, (2.14)

, (2.15)

 (2.16)

 (2.17)

 (2.18)

 (2.19)

Здесь a₀ (l), a₁ (l), a₂ (l), y₁ (l), y (z,l) L₁ (l), L₂ (l), N₂ (l) - изображения соответствующих оригиналов; A (l) и B (l) - многочлены; П (l) - рациональная дробь; l - произвольный комплексный параметр. Выберем характерный прогиб d стержня, используя методы теории упругости. Согласно этой теории [1] в стержне будут отсутствовать пластические деформации, если его характерный прогиб d удовлетворяет условию ; поэтому принимаем , где d - характерный диаметральный размер поперечного сечения стержня в направлении изгиба.

2.5 Решение уравнения движения гибкого стержня

Следуя [1] общее решение линейного обыкновенного неоднородного дифференциального уравнения (2.17) представим в виде суммы

, (2.20)

где y^H - частное решение неоднородного уравнения (2.17); y⁰ - общее решение однородного уравнения

 (2.21)

Введем в рассмотрение функции А.Н. Крылова

 (2.22)

Функции А.Н. Крылова линейно независимы и являются решениями однородного уравнения (2.21), так как при подстановке их в это уравнение оно обращается в тождество. Следовательно,

, (2.23)

где А, В, С, D - произвольные не зависящие от z величины (постоянные интегрирования).

Частное решение неоднородного уравнения (2.17), согласно виду правой части, будем искать в форме

 (2.24)

Здесь Е и М - подлежащие определению коэффициенты.

Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Подставим (2.24) в (2.17)

и, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z, найдем

 (2.25)

Подставляя (2.23) и (2.24) с учетом (2.25) в (2.20), запишем общее решение неоднородного уравнения (2.17) в виде

 (2.26)

Продифференцируем (2.27) по z один раз

 (2.27)

Постоянные интегрирования А, В, С, D определяем согласно (2.26) и (2.27) из граничных условий (2.18)

 (2.28)

y¢ (0,l) =kB+a₁ (l) =0 Þ B= - a₁ (l) /k (2.29)

 (2.30)

Решая систему алгебраических линейных неоднородных уравнений (2.30) по формулам Крамера, получим

 (2.31)

Вводя (2.26) в (2.19), определим

 (2.32)

Подставляя (2.28), (2.29), (2.31) в (2.32) и учитывая тождество

, ,

получим изображение реакций гибкого стержня:

 (2.33)

где

 (2.34)

Введем (2.33) в (2.16)

 (2.35)

Здесь обозначено:

 (2.36)

Из (2.35) следует:

 (2.37)

Выражения (2.34) - (2.37) - математическая модель манипулятора с динамической моделью стержня, где весь бесконечный спектр собственных частот и форм колебаний стержня учитывается через переменные коэффициенты  (), которые являются функциями комплексной переменной .

2.6 Передаточная функция замкнутой системы регулирования манипулятора

Согласно (2.37)  т.е. Ф (λ) есть отношение выходной величины манипулятора к входной величине и в теории автоматического управления [15] называется передаточной функцией замкнутой системы регулирования манипулятора. Элементы , формирующие Q (λ) и D (λ), являются сложными функциями от l и согласно (2.36) содержат не только l с целыми степенями, но и трансцендентные функции m_{ij (}i,j =1,2,3) от

Следовательно, Q (l) и D (l) представляются в форме квазимногочленов с переменными коэффициентами [1]

, (2.38)

а передаточная функция манипулятора  является квазирациональной дробью. Степени m и n квазимногочленов определяются ОДУ в изображениях (2.16), а зависимость переменных коэффициентов от l в квазимногочленах определяется УЧП в изображениях (2.17), а также ГУ (2.18) и УС (2.19) в изображениях.

Далее передаточную функцию Ф (λ) будем представлять в форме квазирациональной дроби

 (2.39)

2.7 Вывод передаточной функции разомкнутой системы регулирования манипулятора

Построим структурную схему рассматриваемой системы управления применительно к задаче синтеза данной линейной стационарной системы по типовым логарифмическим частотным характеристикам [15]. Полагая суммарный коэффициент усиления всех элементов системы управления манипулятором начиная от измерителя углового положения вала 4 и заканчивая исполнительным двигателем 9 обратных связей равными нулю, т.е. p=0, из приведенной в (2.39) формулы Ф (λ) передаточной функции замкнутой системы регулирования манипулятора получаем

 (2.40)

Тогда структурная схема системы замкнутой системы регулирования манипулятора представляется в виде

Рис. 2.5

Из этой структурной схемы следует передаточная функция разомкнутой системы регулирования манипулятора

 (2.41)

и передаточная функция замкнутой системы регулирования

 (2.42)

В следующих главах ВКР передаточная функция разомкнутой системы используется для выбора параметров корректирующих устройств по методу логарифмических амплитудно-фазовых частотных характеристик. А передаточная функция замкнутой системы регулирования используется для построения переходных процессов в системе при  в форме функции Хевисайда, с использованием интеграла Фурье

 (2.43)

3. Синтез регулятора для системы управления манипулятором по методу ЛАЧХ