Материал: Кратные интегралы. Векторный анализ. Учебное пособие по решению задач и выполнению типовых расчетов. Катрахова А.А., Купцов В.С

тым по внешней стороне поверхности, ограничивающей эту область. Эта формула называется формулой Остроградского.

Пусть, наконец, V – некоторая простая область с поверхностью Σ и пусть функции Р, Q, R вместе со своими производными непрерывны в этой области всюду, включая ее границу, тогда можно записать равенство

((∂P/∂x) + (∂Q/∂y) + (∂R/∂z)) dxdydz = P dydz +Qdzdx+

V

+ R dxdy = [P cos( n , x) + Q cos( n , y) + R cos( n , z)]dσ.(4.8)

Замечание. При выводе формулы Остроградского мы

считали, что функции Р, Q, R и их частные производные непрерывны (а следовательно, и ограничены) в замкнутой простой области.

Можно доказать справедливость формулы Остроградского при следующих более общих условиях:

1.V – ограниченная область, граница которой состоит из конечного числа кусочно-гладких поверхностей.

2.Функции Р (х, y, z), Q (х, у, z) и R (х, у, z) непрерывны, а следовательно, и ограничены в замкнутой области V.

3.Производные ∂P/∂x, ∂Q/∂y, ∂R/∂z существуют и непрерывны внутри области V (без границы) и интеграл

[(∂P/∂x) + (∂Q/∂y) + (∂R/∂z)] dxdydz существует.

V

=0,8π a5, где r, υ , θ – сферические координаты.

4.4.Формула Стокса

Выведем формулу Стокса, которая связывает поверхностные и криволинейные интегралы. Формула Стокса обобщает формулу Грина и переходит в нее, если рассматриваемая поверхность сводится к плоской области, лежащей в плоскости X0Y. Формула Стокса часто применяется в самом анализе и в его приложениях.

Пусть дана гладкая . ориентированная поверхность Σ, ограниченная ориентированным контуром Λ, (ориентации Σ и Λ согласованы), и пусть в некоторой трехмерной области, содержащей внутри себя поверхность Σ, определена векторная функция (P, Q, R), такая,

что Р, Q и R непрерывны в этой области вместе со своими частными производными первого порядка.

Формула Стокса имеет вид:

Если поверхность Σ сводится к плоской области, лежащей в плоскости Х0У, то интегралы по dzdx и dydz обращаются в нуль и формула Стокса переходит в формулу Грина.

77

Замечание. Формула Стокса остается в силе в случае, когда граница контура Λ (поверхности Σ) состоит из нескольких отдельных контуров. Интеграл по контуру Λ понимаем как сумму интегралов, взятых по этим контурам, причем ориентация каждого из этих контуров должна быть согласована с выбором стороны поверхности Σ. Формула Стокса имеет многочисленные применения. C помощью этой формулы можно перенести на пространственные криволинейные интегралы те результаты об условиях независимости криволинейного интеграла от пути, которые были получены (с помощью формулы Грина) для плоского случая.

Определение. Трехмерная область V называется односвязной, если на любой замкнутый контур, лежащий в V, можно натянуть поверхность, также целиком лежащую в V (т.е. если внутри V найдется поверхность, имеющая этот контур своей границей).

Примерами поверхностно односвязных областей являются: шар, все пространство, заключенная между двумя концентрическими сферами область, и т.д. Примером неодносвязной области может служить шар, сквозь который проходит цилиндрический туннель

Если функции Р (х, у, z), Q(x, у, z), R(x, у, z) непрерывны, вместе со своими частными производными первого порядка в некоторой замкнутой ограниченной поверхностно односвязной области V, то можно доказать следующие свойства:

1. Интеграл Р dх + Q dy +R dz, взятый по любому замкнутому контуру, лежащему внутри V, равен нулю.

2. Р dx + Q dy + R dz не зависит от выбора пути,

АВ

соединяющего точки А и В.

3. P dx+ Q dy+ R dz – полный дифференциал некоторой однозначной функции, определенной в V.

78

Рассмотрим некоторый замкнутый контур Λ, лежащий в V, так как область V по условию односвязна, то на Λ можно натянуть поверхность Σ, целиком лежащую внутри V. Применив к криволинейному интегралу, взятому по Λ, формулу Стокса получаем, что из (4.10) следует равенство

P dx + Q dy + R dz = 0.

Если выражение Р dx + Q dy + R dz представляет собой полный дифференциал некоторой функции U (x, у, z), то можно написать выражение этой функции

( x* , y* , z* )

где интеграл взят по произвольному пути M ΄M ( M ΄(x΄, y΄, x΄), M(х, у, z)), целиком лежащему в области V.

Если функции Р, Q и R удовлетворяют условиям (4.10), но область, в которой они определены, не односвязна, то свойства

интеграла P dx + Q dy + R dz аналогичны свойствам криво-

АВ

линейного интеграла Р dx+ Q dy в плоской многосвязной

АВ

области.

В частности, равенство (4.11) при выполнении (4.10) и в случае многосвязной области представляет собой функцию, полный дифференциал которой равен Р dx + Q dy + R dz, но в многосвязной области эта функция многозначна.

Так как все интегралы в скобке равны между собой и равны площади прямоугольного треугольника с катетами равными

3.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 4.7. Вычислить поверхностный интеграл

J = (1/r2)ds, где Σ – цилиндр x2 + y2 = 4, ограниченный

плоскостями z = 0, z = 3, а r – расстояние от точки поверхности до начала осей координат.

Ответ: 2π arctg(3/2).

Задача 4.8. Вычислить поверхностный интеграл J = (1/r)ds,

где Σ – часть поверхности z = xy, отсеченная цилиндром x2 + y2 = 9 ,а r – расстояние от точки поверхности до оси Oz.

Ответ: π[3 10 + ln(3+ 10 )].

Задача 4.9. Вычислить поверхностный интеграл

J = x2y2zdxdy, где Σ – верхняя сторона нижней половины

сферы x2 + y2 + z2 = 1. Ответ: – 2π/(105).

80