Материал: Кратные интегралы. Векторный анализ. Учебное пособие по решению задач и выполнению типовых расчетов. Катрахова А.А., Купцов В.С

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

(рис. 1.12). Таким образом, объем такого цилиндрического тела равен

f x, y dxdy .

(1.11)

D

Если вычисления ведутся в полярных координатах, то предыдущая формула примет вид:

V

f r cos , r sin rdrd .

(1.12)

D

Предполагается, что функция z = f(x, y) непрерывна и однозначна в области D.

Задача 1.14. Вычислить объем тела, ограниченного по-

верхностями z = 4x2 + 2y2 + 1, x + y – 3 = 0, x = 0, y = 0, z = 0.

Решение. Первая поверхность представляет собой эллиптический параболоид с осью симметрии OZ. Он пересекает ось

OZ в точке (0, 0, 1) (рис. 1.13).

Поверхность x + y – 3 = 0 – это плоскость, параллельная оси OZ, а остальные поверхности – это координатные плоскости. На плоскость ХОУ поверхность проектируется в треугольник D, ограниченный координатными осями и прямой x + y – 3 = 0. Сверху тело ограничено поверхностью z = 4x2 + 2y2 + 1. Объем тела вычисляется по формуле

(1.11).

Рис. 1.13

 

 

3

3 y

V

4x2

2 y2

1 dxdy dy

4 x2 2 y2 1 dx

D

 

 

0

0

21

Рис. 1.14

3 dy

4

x3

2x y2

x

 

3 y

3

4

3 y 3

2 3 y y2

3 y dy

3

 

 

 

0

 

3

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

18 y2

 

10

y3

 

 

 

37

y2

6 y3

10

y4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

39

 

37 y

 

dy

 

39 y

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

2

 

 

12

 

39 3

 

37

 

9 6 27

 

 

5

81

45

куб. ед.

 

 

 

 

 

2

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: V = 45 куб. ед.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1.15. Определить объем тела ограниченного по-

верхностями z = 4 – x2, y = 5, y = 0, z = 0.

Указание. В формулу (1.11) подставить z из уравнения поверхности, ограничивающей сверху это тело. Это параболический цилиндр с образующими, параллель-

ными оси ОУ z = 4 – x2. Учесть симметрию тела относительно

плоскости УOZ (рис. 1.14). Переходя к повторному интегралу, получим

5

2

x2

 

 

 

V 2 dy

4

dx .

 

 

0

0

 

 

 

 

Ответ:

V

55

1

куб. ед.

3

 

 

 

 

 

Задача 1.16. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z = a2 – x2; x + y = a, у = 2х, у = 0.

22

Указание. Поверхность линдр. Эта поверхность ограничивает тело сверху. Проекция тела на плоскость ХОУ представляет собой треугольник (рис.

1.15). По формуле

(1.11) получим

z = a2 – x2 – параболический ци-

Рис. 1.15

 

32 a a

y

 

 

 

 

 

 

41

a4

 

 

 

 

 

V

dy

a2

x2 dx

Ответ: V

куб. ед.

 

 

0

y

 

 

 

 

 

 

162

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 1.17. Найти объем тела, ограниченного поверхно-

стями x2 + y2 + a2z = a2; z = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Указание. Поверхность представляет со-

 

 

 

бой параболоид вращения. Наличие слагаемого

 

 

 

x2 + y2

в уравнении поверхности указывает на

 

 

 

то, что удобно перейти к полярным координа-

 

 

 

там. Область интегрирования – это круг радиуса

 

 

 

а (рис. 1.16). Уравнение поверхности парабо-

 

 

 

лоида в полярных координатах имеет вид

 

 

 

 

 

 

r2 + a2z = a2; z

 

1

 

 

a2 r 2

 

 

 

 

 

 

 

 

a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.16

 

 

 

 

 

1 2

a

 

2

 

 

2

rdr .

 

 

 

 

 

 

V

 

 

d

a

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

a2 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: V

 

1

a2

куб. ед.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 1.18. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями 2х + у – 2 = 0; 4х + 3у – 2z = 0 и координатными плоскостями.

23

Ответ: V 53 куб. ед.

в) Вычисление площади поверхности

Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), то плоскость той части поверхности, которая проектируется на плоскость ХОУ в область DХОУ вычисляется по формуле

 

 

 

z 2

z

2

 

 

S

1

 

 

 

dxdy .

(1.13)

x

y

 

DXOУ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Предполагается, что функция z = f(x, y) непрерывна и однозначна в области D и имеет в этой области непрерывные ча-

стные производные

z

и

z

.

 

x

 

y

Иногда выгодно проектировать поверхность, площадь которой вычисляется, не на плоскость ХОУ, а на плоскость УOZ, тогда уравнение поверхности следует решить относительно переменной x = x(y, z).

Получим формулу:

 

 

y 2

y

2

 

 

S

1

 

 

 

dydz .

(1.14)

x

z

Dyoz

 

 

 

 

Если поверхность, площадь которой вычисляется, проектируется на плоскость XOZ, тогда уравнение поверхности следует решить относительно переменной у = у(x, z).

Получим формулу:

24

 

 

y 2

y

2

 

 

S

1

 

 

 

dxdz .

(1.15)

x

z

Dyoz

 

 

 

 

Задача 1.19. Вычислить площадь той части поверхности

у = x2 + z2, которая находится в первом октанте и ограничена плоскостью у = 2.

Решение. Поверхность, площадь которой требуется вычислить, часть параболоида вращения (ось вращения ОУ) находящаяся в первом октанте, и ограничена плоскостью у = 2, перпендикулярной к оси ОУ.

Спроектируем вычисляемую поверхность на плоскость XOZ. Тогда получим четверть круга, ограниченного окружностью (рис.1.17), уравнение которой получим, исключая у, из двух уравнений:

 

y

x2 z 2

 

 

y

2

 

 

Уравнение этой

окруж-

 

ности:

 

 

 

х2 + z2 = 2 ; у = 0.

 

 

Так как мы проектирова-

Рис. 1.17

ли поверхность на плоскость

XOZ,то

ее уравнение

должно

 

быть решено относительно переменной у и следует воспользоваться формулой (1.15).

Из условия задачи у = х2 + z2;

y

2x,

y

2z .

x

z

 

 

 

Получим формулу:

25

Источник: https://studfile.net/preview/16565876/

Смотрите также:

_3 тема - Диффузия
00601
01. Концепция БД
02_ЛР
02. РСЧС_ВСМК_Таблица
05. Частная патология ССС - Инфаркт миокарда
0501 Конунников ЛР10-3
0501_Конунников_ЛР№2
06-20-DatabasesGenomEvolution
07