Материал: Криволинейные и поверхностные интегралы. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу «Высшая математика». Пантелеев И.Н
2. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ
(II РОДА)
Опорный конспект №2
1) Определение КИ 2р. Задача о работе
r |
|
|
a = {P (x, y ),Q (x, y )} |
|
|
P (x, y ),Q (x, y ) - |
непр. в D , |
|
» |
» |
разбивается |
AB Ì D . |
AB |
|
Ai-1 Ai , i =1, n .
Ai-1 Ai = {Dxi , Dyi } , M (xi ,hi )Î Ai-1 Ai
rr
òa ×dr = ò Pdx + Qdy =
» |
» |
AB |
AB |
= lim |
å |
P (x |
,h |
)Dx + Q |
(x |
,h |
)Dy |
|
max Dx, y ®0 |
i |
i |
i |
|
i |
i |
i |
|
1 |
(i ) |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
W = ò Pdx + Qdy = ò F ×dr - работа силы |
||||||||
» |
|
|
|
» |
|
|
|
|
AB |
|
|
|
AB |
|
|
|
|
r |
{P (x, y ), Q (x, y )} |
|
|
|||||
F = |
|
|
||||||
на »AB , drr = {dx, dy}
2) Свойства КИ 2р
1°. ò Pdx + Qdy = - ò Pdx + Qdy ;
» |
» |
AB |
BA |
( ( ( |
ò Pdx +Qdy = ò Pdx +Qdy + ò Pdx +Qdy ; |
||
2°. AB = AC +CB = |
|||
|
» |
» |
» |
|
AB |
AC |
CB |
3°. D = D1 + D2 , ¶D1 = L1 , ¶D2 = L2 , ¶D = L Þ |
|
||
Ñò Pdx + Qdy = Ñò |
+ Ñò |
|
|
L |
L1 |
L2 |
|
6
3)Вычисление КИ 2р
1)»AB : x = x (t ), y = y (t ) - непр. дифф. на [a, b ]
b
Þ ò Pdx + Qdy =ò(P (x (t ), y t( ))x¢(t )+Q (x (t ), y t( ))y¢(t ))dt
» |
a |
|
AB |
» |
|
2) |
||
AB : y = y (x )- непр. дифф. на [a, b] Þ |
b
Þ ò Pdx + Qdy =ò(P (x, y (x ))+Q (x, y (x ))y¢(x ))dx
»AB a
4) Связь между КИ 1р и 2р
LM - касательная к »AB в т. M ,
a= (L·M ,OX ), b = (L·M ,OY ),g = (L·M , OZ )Þ
Þò P (x, y, z )dx + Q (x, y, z )dy + R (x, y, z )dz =
»AB
= ò (P cosa + Q cos b + R cos g )dl
»AB
5) Формула Грина |
|
|
|
|
|
¶P |
|
¶Q |
|
|
P (x, y ),Q (x, y ) |
непр. в D вместе с |
, |
, |
|||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
¶y ¶x |
||||
|
æ ¶Q |
|
¶P ö |
|
|
|
|
|||
L = ¶D Þ Ñò Pdx + Qdyòòç |
|
- |
|
÷dxdy . |
||||||
|
|
|||||||||
L |
D è ¶x |
|
¶y ø |
|
|
|
|
|||
7
6) Условия независимости КИ 2р от контура интегрирования
1. ò Pdx + Qdy = 0"L* Ì D Û
L*
(
2. ò Pdx + Qdy не зависит от AB Ì D Û
(
AB
3.Pdx + Qdy = du,u = u (x, y )Î D Û
4.¶P = ¶Q в D ¶y ¶x
7) Интегрирование полных дифференциалов
Pdx + Qdy = du Þ
|
|
|
u (x, y )= |
(x, y) |
|
|
|
|
ò Pdx + Qdy + c = |
||
|
|
|
|
(x0 , y0 ) |
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
= ò + ò +c = ò P (x, y dx) + òQ (x, y dy) +c |
|||
|
|
AC CB |
x0 |
y0 |
|
Вычисление криволинейного интеграла II рода |
|||||
1) Пусть |
» |
|
|
причем |
|
AB : x = x(t), y = y(t),a £ t £ b , |
|||||
x(t) , y(t) |
непрерывно дифференцируемы на [a, b], т.е. |
||||
x(t), y(t) ÎC1[a, b] . Тогда |
|
|
|
||
|
|
ò P(x, y)dx + Q(x, y)dy = |
|
||
|
|
» |
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
= ò |
|
¢ |
|
¢ |
(2.1) |
(P(x(t), y(t)) x (t) + Q(x(t), y(t)) y (t))dt . |
|||||
a
8
|
|
ò P(x, y)dx = |
|
|
n |
|
|
|
|
||
Рассмотрим |
lim |
åP(xi ,hi )Vxi . |
По |
|
|||||||
|
|
» |
|
|
maxVx i ®0 i = 1 |
|
|
|
|
||
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
теореме |
Лагранжа |
|
|
|
|
¢ |
* |
* |
,ti ) . |
|
|
Vxi = x(ti ) - x(ti-1 ) = x (ti )Vti ,ti Î(ti -1 |
|
||||||||||
Выберем |
xi = x(ti* ),hi = y(ti* ) , |
тогда |
|
|
|
|
|
|
|||
|
n |
|
|
n |
|
|
|
¢ |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
åP(xi ,hi )Vxi = åP(x(ti ), y(ti )) x (ti )Vti . |
|
|
||||||||
|
i =1 |
|
|
i = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
В правой |
части |
полученного |
|
равенства– |
интегральная |
|
|||||
сумма |
для |
определенного |
|
интеграла |
от |
фун |
|||||
|
¢ |
|
|
к |
пределу |
|
приmaxVxi ® 0 , |
|
|||
P(x(t), y(t))x (t) . Переходя |
|
|
|||||||||
получаем формулу (2.1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2) |
Пусть |
» |
задана |
|
на |
плоскости: |
|||||
AB |
|
||||||||||
y = y(x), a £ x £ b , |
причем |
y = y(x) |
– |
непрерывно |
|
||||||
дифференцируемая |
на [a,b] |
функция. |
Тогда, считаем |
|
|||||||
параметром, из (2.1) получаем |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò P(x, y)dx + Q(x, y)dy = ò[P(x, y(x)) +Q(x, y(x)) y (x)]dx . |
|
||||||||||
» |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
ur |
|
|
|
Примеры: |
1. Найти работу |
силы |
|
по |
|
||||||
F ={-y, x, z} |
|
||||||||||
перемещению материальной точки вдоль винтовой линии L : x = a cos t, y = a sin t, z = bt, 0 £ t £ 2p
W = ò-ydx + xdy + zdz =
L
2p
= ò [-a sin t(-a sin t) + a cos t(a cos t) +btb]dt =
0
2p
= ò (a2 + b2t)dt = 2p(a2 + pb2 ).
0
9
2. Вычислить
ò (xy -1)dx + x2 ydy, A(1, 0), B(0, 2), AB» : 2x + y = 2 .
»AB
0
ò (xy -1)dx + x2 ydy = ò[x(2 - 2x) -1) + x2 (2 - 2x)(-2)]dx =
» |
1 |
AB |
|
=(x4 - 2x3 + x2 - x) 10 =1.
3.ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Опорный конспект №3
1)Поверхность в R3
G : z = z(x, y), M (x, y) Î R2 , z(x, y), z¢x , z¢y - |
непрерывны в |
|||
D Û G – |
гладкая |
поверхность, являющаяся |
двусторонней. |
|
Единичный |
|
вектор |
r |
|
|
нормалиn = {cosa, cos b, cos g}, |
|||
¶ |
¶ |
¶ |
r |
|
a = (n, i), b = (n, j),g = (n, k) , |
n(M ) - непрерывная функция |
|||
т. M
10