Материал: Криволинейные и поверхностные интегралы. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу «Высшая математика». Пантелеев И.Н

2) ПИ 1р

2.1. Определение ПИ 1р

f (x, y, z) непрерывна в

l = max diamDGi , m(M ) - поверхностная плотность G Þ

Þ m = òòm(x, y, z)ds – масса G .

G

2.2. Вычисление ПИ 1р

G : z = z(x, y))x, y) Î D - гладкая поверхность Þ

3) ПИ 2р

3.1. Определение ПИ 2р

P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) непрерывны в W Ì R3 ,G Ì W –

двусторонняя ориентированная поверхность,

11

Связь ПИ Iр и ПИ IIр:

òò Pdydz + Qdxdz + Rdydx = òò(P cosa + Q cos b + R cos g )ds

тупых.

12

5) Формула Стокса

P(M ), Q(M ), R(M ) - непрерывные вместе с частными производными на ориентированной поверхности G, L = ¶G - гладкая Þ

13

4. ЗАДАНИЯ ДЛЯ ТИПОВОГО РАСЧЕТА Вариант 1

1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода ò x d l ,

L y

если L – дуга окружности x = 2sin t, y = 2 cos t, p £ t £ p .

4. Вычислить с помощью формулы Грина криволинейный интеграл ò x 2 y dx - xy 2 dy по окружности L с центром в

L

начале координат радиуса R, при положительном направлении обхода.

5. Вычислить поверхностный интеграл первого рода òò x y z ds

S

по пространственной области S = {(x, y, z)}, определяемой

условиями ìíx + y + z = 1, üý.

îx ³ 0, y ³ 0, z ³ 0þ

6. Вычислить по формуле Стокса криволинейный интеграл

ò y dx + z 2dy + x2dz , где L – окружность, по которой плоскость

L

z = 3 пересекает сферу, заданную уравнением x2 + y2 + z2 = 4 .

14

Вариант 2

1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода ò y dl

L x

по кривой L y = x 2 , 1 £ x £ 2 .

2. Определить центр тяжести дуги астроиды

x = 2 cos3 t, y = 2 sin 3 t , лежащей в первой четверти 0 £ t £ p . 2

Плотность считать равной единице.

3. Вычислить криволинейный интеграл второго рода

6. Вычислить поверхностный интеграл второго рода

òòxdydz + ydzdx + zdxdy , где S - внешняя сторона сферы

S

x2 + y2 + z 2 = a2 .

15