Материал: Криволинейные и поверхностные интегралы. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу «Высшая математика». Пантелеев И.Н

Вариант 23

1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода ò5x dl ,

L

если L – дуга кривой x = t, y = 2t 2 , 1 £ t £ 2 .

2.Вычислить статический момент первого витка винтовой линии x = t cos2 t, y = t sin 2 t, z = t , относительно плоскости Оxy, считая плотность пропорциональной квадрату расстояния от этой плоскости r = 2z 2 .

3.Вычислить криволинейный интеграл второго рода

ò(6 - y)dx - (3 - y)dy , где L – арка циклоиды

L

x = 3t - 3sin t, y = 3 - 3cost,0 £ t £ 2p .

4. Найти работу силы F = {- y, x} от точки A(0,0) до точки

B(0,2pa) вдоль дуги циклоиды x = a(t - sin t), y - a(1 - cost) .

замкнутому контуру, преобразовать с помощью формулы Стокса в интеграл по поверхности, «натянутой» на этот контур.

36

Вариант 24

1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода ò2 y 2 dl,

оси Оx.

3. Вычислить криволинейный интеграл второго рода

ò( y + z)dx + (x + z)dy + (x + y)dz , где L – дуга кривой

L

x = t2 , y = t 4 , z = t6 ,0 £ t £1.

4. Вычислить площадь, ограниченную эллипсом x = cos t, y = 2 sin t, 0 £ t £ 2p .

5. Вычислить поверхностный интеграл первого рода

òò(z2 +1)ds по пространственной области S = {(x, y, z)},

S

L

окружность x 2 + y 2 = R 2 , z = 0 , используя формулу Стокса,

взяв в качестве поверхности полусферу z = + R 2 - x 2 - y 2 .

37

Вариант 25

1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода

ò(2x 2 + 5 y) dl , если L – дуга кривой

L

x = 10 cos2 t, y = 10 sin 2 t, p £ t £ p .

32

2.Найти центр тяжести одной арки циклоиды

3. Вычислить криволинейный интеграл второго рода

òxy dx + (x2 + y2 )dy , где L – контур четырехугольника АВСD

L

с вершинами А(-1,0), В(1,0), С(2,1), D(2,2) при положительном направлении обхода.

4. Найти площадь области, ограниченной линиями

x = t 2 , y = t 3 , x = 1.

5. Вычислить поверхностный интеграл первого рода òòz4ds

S

по пространственной области S = {(x, y, z)}, определяемой

6. Поверхностный интеграл по замкнутой поверхности преобразовать с помощью формулы Остроградского в тройной интеграл по объему тела, ограниченного этой поверхностью: òò x 2 dydz + y 2 dxdz + z 2 dxdy . Интегрирование

S

ведется по внешней стороне поверхности S.

38

Вариант 26

1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода ò2x dl ,

L

если L – дуга параболы y = 4x 2 1 £ x £ 3 .

2.Вычислить статический момент относительно координатных осей отрезка СВ, соединяющего точки С(1,1) и В(3,5). Плотность в каждой точке отрезка равно произведению координат этой точки.

3.Вычислить криволинейный интеграл второго рода

положительном направлении материальной точки. 5. Вычислить поверхностный интеграл первого рода

òò x2 + y2 ds по пространственной области S = {(x, y, z)},

S

6. Вычислить поверхностный интеграл второго рода

òò z dxdy + y dxdz + x dydz, где S – верхняя сторона плоскости

S

x + 4 y - z = 1, ограниченной координатными плоскостями.

39

Вариант 27

1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода

ò(3x3 y + 4xy 3 ) dl , если L – дуга окружности

L

x = 2 cos t, y = 2 sin t, p £ t £ p . 2

2. Найти массу кривой y = x3 от точки x = 0 до x = 2 , если в

каждой точке кривой плотность равна квадрату ее абсциссы. 3. Вычислить криволинейный интеграл второго рода

òx dy - y dx , где L – дуга астроиды x = cos3 t, y = sin 3 t от

L

точки А(1,0) до точки В(0,1).

4. Найти работу силы F = (4x - y) i + (x + 2 y) j вдоль ломаной АВС, где А(1,2), В(1,5), С(-3,5).

5. Вычислить поверхностный интеграл первого рода

òò(x2 + y2 - 2z)ds по пространственной области S = {(x, y, z)},

6.Вычислить с помощью формулы Остроградского интеграл

òòxz dxdy + xy dydz + yz dxdz, где S – внешняя сторона

S

пирамиды, составленной плоскостями x = 0, y = 0, z = 0 и

x + y + z = 1.

40