Материал: Криволинейные и поверхностные интегралы. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу «Высшая математика». Пантелеев И.Н

Вариант 28

1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода ò3y dl ,

L

если L – дуга параболы y 2 = x 1 £ x £ 4 .

2. Найти массу кривой y = 2ch x на участке от x = 0 до x = 3 2

считая, что в каждой точке плотность пропорциональна ординате этой точки.

3. Вычислить криволинейный интеграл второго рода

ò(x2 + y + z)dx + z2dy + (x + y2 )dz , где L – отрезок прямой от

L

точки А(2,1,0) до точки В(4,3,1).

4. Убедившись, что подынтегральное выражение представляет собой полный дифференциал, вычислить криволинейный

интеграл òe x cos y dx - e x sin y dy от точки А(0,0) до точки

L

В(x,y).

5. Вычислить поверхностный интеграл первого рода

òò(x2 + y2 - 2)ds по пространственной области S = {(x, y, z)},

6.Вычислить с помощью формулы Остроградского интеграл

òòyz dxdy + xz dydz + xy dxdz, где S – внешняя сторона

S

поверхности, расположенной в первом октанте и

составленной из цилиндра x 2 + y 2 = R 2 и плоскостей

x = 0, y = 0, z = 0 и z = H .

41

Вариант 29

1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода ò3x dl ,

L

если L – дуга кривой x = t , y = t 2 , 2 £ t £ 4 . 2

2. Вычислить массу эллипса L, определенного

ìx = cos t

параметрическими уравнениями í

îy = sin t

(0 £ t £ 2p ) .

3. Вычислить криволинейный интеграл второго рода

ò y dx + x dy , где L – четверть дуги окружности

L

x = R cost, y = Rsin t , лежащая в первой координатной

четверти при положительном направлении обхода.

6. Вычислить с помощью формулы Остроградского интеграл òò y 2 z dxdy + xz dydz + x 2 y dxdz, где S – внешняя

S

сторона поверхности, расположенной в первом октанте и составленной из параболоида вращения z = x 2 + y 2 , цилиндра x 2 + y 2 = 1 и координатных плоскостей.

42

Вариант 30

1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода

ò(x + 2 y) dl , если L – дуга астроиды

L

x = 5 cos3 t, y = 5sin 3 t, p £ t £ 2p .

2. Найти массу дуги линии x = et cos 2t, y = et sin 2t, z = et

от точки, соответствующей t = 0 до t = p , если плотность

2

дуги пропорциональна квадрату полярного радиуса. 3. Вычислить криволинейный интеграл второго рода

ò y2dx - x2dy , где L – контур треугольника ОАВ с вершинами

L

О(0,0), А(2,2), В(0,2) при положительном направлении обхода. 4. Найти площадь, ограниченную кривой

x = 2 sin 3 t, y = 6 cos3 t, 0 £ t £ 2p .

5. Вычислить поверхностный интеграл первого рода

òò(xy + z2 )ds по пространственной области S = {(x, y, z)},

6. Вычислить поверхностный интеграл второго рода òò zdxdy,

где S – полусфера z = + R 2 - x 2 - y 2 .

43

гладкой, кусочно-гладкой?

3.Напишите параметрические уравнения плоской кривой, заданной: а) в декартовых координатах; б) в полярных координатах.

4.Дайте определение функции: а) непрерывной вдоль кривой; б) кусочно-непрерывной вдоль кривой.

5.Сформулируйте определения: а) интегральных сумм для криволинейного интеграла1 рода; б) предела этих интегральных сумм; в) криволинейного интеграла 1 рода.

7.Сформулируйте теорему о существовании криволинейного интеграла 1 рода и вычисления его с помощью определенного интеграла.

8.Какие физические приложения криволинейного интеграла 1 рода вы знаете?

б) теорему об оценке модуля интеграла; в) теорему о формуле среднего значения.

10.Сформулируйте определения: а) интегральных сумм для криволинейного интеграла2 рода; б) предела этих интегральных сумм; в) криволинейного интеграла 2 рода.

11.Зависит ли от направления обхода:

а) криволинейный интеграл 2 рода; б) какая-нибудь его интегральная сумма?

44

12.Дайте определение поверхностного интеграла первого и второго рода.

13.Сформулируйте теорему о существовании поверхностного интеграла первого рода и сведении его к

òò xdydz + ydzdx + zdxdy ,

F

через сумму двойных интегралов, где F—сфера

х2 + у2 + z2 =R2

и п(М) = {cos α, cos β, cos γ} — ее внешняя нормаль.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Бугров Я.С. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. М.: Наука, 1989.

2.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов / Н.С. Пискунов. М.: Наука, 1985. Т.2.

3.Бутузов В.Ф. Математический анализ в вопрсах и задачах / В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, Г.Н. Медведев. М.:

Высш. шк., 1988.

45