Материал: Криволинейные и поверхностные интегралы. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу «Высшая математика». Пантелеев И.Н

Вариант 18

1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода ò3y dl ,

L

если L – дуга кубической параболы y = 2x3 1 £ x £ 2 .

2. Найти массу кривой y = ch x на участке от x = 0 до x = 3 3

считая, что в каждой точке плотность обратно пропорциональна ординате этой точки.

3. Вычислить криволинейный интеграл второго рода

ò y2dx + z2dy + (x - y)dz , где L – отрезок прямой от точки

L

А(1,0,2) до точки В (2,-1,0).

4. Убедившись, что подынтегральное выражение представляет собой полный дифференциал, вычислить интеграл

(1, 2)

ò(3x 2 - 2xy + y 2 ) dx + (2xy - x 2 - 3y 2 ) dy .

( -1,-1)

5. Вычислить поверхностный интеграл первого рода

òò x2 + y2 ds по пространственной области S = {(x, y, z)},

S

определяемой условиями ìí x 2 + y 2 = 4,üý .

îz = 0, z = 1þ

6. Вычислить поверхностный интеграл второго рода òò z dxdy,

31

Вариант 19

1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода

ò(2x + y) dl , если L – дуга астроиды

L

y = 2sin 3 t, x = 2 cos3 t 0 £ t £ p .

ò(x2 - y2 )dx + 2xy dy , где L – дуга параболы x = y2 при y £ 1.

L

4. С помощью формулы Грина вычислить криволинейный интеграл ò- x 2 ydx + xy 2 dy , если L – окружность с центром в

L

начале координат радиуса R, пробегаемая в положительном направлении.

5. Вычислить поверхностный интеграл первого рода

òò(xy + z2 )ds по пространственной области S = {(x, y, z)},

6.Вычислить поверхностный интеграл второго рода

òòz 2 dxdy, где S – внешняя сторона эллипсоида

32

Вариант 20

1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода ò y dl ,

L

если L – дуга кривой y = 3 x, 3 £ x £ 4 .

2. Найти массу первого витка винтовой линии

ìx = 2 cost

ï

íy = 3sin t плотность которой в каждой точке равна квадрату

ïîz = t

полярного радиуса этой точки.

3. Вычислить криволинейный интеграл второго рода

ò(1 + x2 ) y dx + (1 + y2 )x dy , где L – контур треугольника АВС с

L

вершинами А(0,0), В(2,0), С(4,2) при положительном направлении обхода.

4. С помощью формулы Грина вычислить криволинейный

L

пробегаемый в положительном направлении.

5. Вычислить поверхностный интеграл первого рода

òò3 9 - x2 - y2 ds по пространственной области S = {(x, y, z)},

6.Вычислить поверхностный интеграл второго рода

òòxz dxdy + xy dydz + yz dxdz, где S – внешняя сторона

S

пирамиды, составленной плоскостями x = 0, y = 0, z = 0 и x + y + z = 1.

33

Вариант 21

1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода ò(2x + 3y) dl , если L – дуга циклоиды

L

x = 3(1 - cos t), y = 3(t - sin t), p £ t £ 3p .

от точки, соответствующей t = 0 до t = 2 , если плотность дуги обратно пропорциональна квадрату полярного радиуса и в точке (1,0,1) равна 2.

3. Вычислить криволинейный интеграл второго рода

ò y dx + xy dy , где L – четверть дуги эллипса с полуосями а=2,

L

в=1, лежащая в первой координатной четверти при положительном направлении обхода.

(2,8)

4. Вычислить криволинейный интеграл ò(x3 - 2xy)dx - x 2 dy

(0,0)

по прямой y = 4x и по дуге параболы y = x3 .

5. Вычислить поверхностный интеграл первого рода òòxds по

S

пространственной области S = {(x, y, z)}, определяемой

6.Вычислить поверхностный интеграл второго рода

òòyz dxdy + xz dydz + xy dxdz, где S – внешняя сторона

S

поверхности, расположенной в первом октанте и составленной из цилиндра x 2 + y 2 = R 2 и плоскостей x = 0, y = 0, z = 0 и z = H .

34

Вариант 22

1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода ò3x 2 dl ,

L

если L – дуга кривой y = 2lnx, 2 £ x £ 3 .

2.Найти координаты центра масс первого полувитка винтовой линии x = 5cost, y = 5sin t, z = t , считая плотность равной 3.

3.Вычислить криволинейный интеграл второго рода

ò y dx - x dy , где L – верхняя полуокружность

L x2 + y2

x = 5cost, y = 5sin t при положительном направлении обхода. 4. С помощью криволинейного интеграла найти площадь, ограниченную кардиоидой

x = 2 cos t - cos 2t, y = 2sin t - sin 2t, 0 £ t £ 2p .

5. Вычислить поверхностный интеграл первого рода òòzds по

S

пространственной области S = {(x, y, z)}, определяемой

6. Вычислить поверхностный интеграл второго рода

òò y 2 z dxdy + xz dydz + x 2 y dxdz, где S – внешняя сторона

S

поверхности, расположенной в первом октанте и составленной из параболоида вращения z = x 2 + y 2 , цилиндра x 2 + y 2 = 1 и координатных плоскостей.

35