Документ: Лабораторные (заочн), страницы 6-10

Выберем начальное приближение к корню (в методе итераций x0 – произвольное значение из отрезка [a;b]), например, x0=0, и с использованием итерационной

функции φ(x) (cos(x) 1)/3 выполним три итерации.

Условие окончания процесса уточнения корня. Для оценки погрешности метода итерации справедливо соотношение:

xn x* 1 qq xn xn 1 . Процесс итерации следует продолжать до тех пор, пока не

выполнится условие останова:

x

n

x

n

1

1 q , где q=max |φ `(x)| на выбранном

q

отрезке,

ε – заданная точность.

Так

как q=

(1)

=0.28, условие останова будет

xn xn 1

2.571 . Если q<1/2,

то можно использовать условие

xn xn 1

.

2) «Ручной расчет» трех итераций

Для получения решения уравнения методом итерации необходимо воспользоваться

следующей рекуррентной формулой:					x	n 1	1 cos(xn ) ,	x	0
						n 1	3	0
							3
(x)		1 cos(x)
(x)
			3
f(x) 1			3x cos(x)
x0	0			f (x0) 2
x1	(x0)		x1 0.667	f (x1) 0.214
x2	(x1)		x2 0.595	f (x2) 0.042
x3	(x2)		x3 0.609	f(x3) 7.95 10 3

Результаты вычислений представлены в форме табл. 2-2b.

к	Xк	f(xк)
0	0	2
1	0.6667	-0.2141
2	0.5953	4.21 • 10-2
3	0.6093	-7.9496 • 10-3

3) Погрешность численного решения нелинейного уравнения

Оценим погрешность результата после трех итераций: x * x3 1qq x3 x2 0.280.72 0.014 0.0054 .

Тема1.2.Методы решениянелинейных уравнений (Лабораторныйпрактикум)

Страница 6

Метод Ньютона

1) Исследование задания для «ручного расчета»

Необходимые и достаточные условия сходимости метода Ньютона:

f (x)непрерывна на [a;b]

и f (a) f (b) 0;

f (x) и

f (x)отличны от нуля и сохраняют знаки для x [a;b].

В нашем случае на отрезке [0;1] требования теоремы выполняются.

Начальное приближение

x0

должно удовлетворять условию: f (x0) f (x0) 0,

т.е. за начальное приближение следует принять тот конец отрезка, где знак

функции и знак второй производной совпадают. Поскольку

f (x) < 0 и

f (1) < 0, то

выберем начальное приближение к корню:

x0 =1.

Условие окончания процесса уточнения корня. Для оценки погрешности метода

*

M2

2

Ньютона справедливо соотношение:

xn x

(xn

xn 1)

, где M2 – наибольшее

2m

1

значение

f

(x)

,

m1 –наименьшее значение

на отрезке[a;b]. Из требования

f (x)

обеспечения

точности

ε

следует

условие

окончания

вычислений

xn

xn 1

2m1

M2

2) «Ручной расчет»

трех итераций

Для получения решения уравнения методом Ньютона

воспользуемся

следующей

рекуррентной формулой: x

n 1

x

n

f(xn )

f '(xn )

В нашем случае x

n 1

x

n

1 3xn

cosxn , x0 =1.

3 sinxn

f (x) 1 3x cos(x)

f1(x) d

f (x) sin(x)

3

dx

x0 1

f (x0) 1.4597

x1 x0

f(x0)

0.62

f (x1) 0.046

f1(x0)

f(x1)

5

x2 x1

0.607121

f(x2) 6.788 10

f1(x1)

f(x2)

10

x3 x2

0.607102

f(x3) 1.484 10

f1(x2)

Представим вычисления в виде следующей табл. 2-2b.

k

Xk

f(xk)

0

1

-1.4597

1

0.6200

-4.62•10-2

2

0.607121

-6. 788 •10-5

3

0.607102

-1.484 •10-10

Страница 7

Тема1.2.Методы решениянелинейных уравнений (Лабораторныйпрактикум)

3) Погрешность численного решения нелинейных уравнений

Оценим погрешность после трех итераций:

m	f (0)			3,	M	f (0)	1,	x* x		M (x		x		)2
m	f (0)			3,	M	f (0)	1,	x* x	3	2	3		2	.
1					2				3	2m1
Тогда		x* x			0.000002.					2m1
Тогда		x* x			0.000002.
			3

Метод хорд

1) Исследование задания для «ручного расчета».

Проверка выполнения условий сходимости. Для сходимости метода необходимо

знакопостоянство f (x) на отрезке [a;b].

Выбор начального приближения. Вид рекуррентной формулы зависит от того, какая из точек a или b является неподвижной. Неподвижен тот конец отрезка [a;b] , для

которого знак функции f(x) совпадает со знаком ее второй производной. Тогда второй конец отрезка можно принять за начальное приближение к корню, то есть точку х0.

Рекуррентная формула метода хорд:

		f(xn )

xn 1 xn			(x xn), где x	- неподвижная точка.


	f(x)	f(xn )

На этапе отделения корня было показано, что для функции f(x)=1–3x+cosx вторая производная f (x)<0 на отрезке [0;1] и, следовательно, неподвижной точкой является

точка x=b=1, так как f (1) f (1) 0.

Таким образом, полагая x0 =a=0, получим сходящуюся последовательность приближений

к корню.

В рассматриваемой задаче рекуррентная формула принимает следующий вид

xn 1 xn	f(xn )	(1 xn
	f(1) f(x )
	n

Условие окончания процесса уточнения корня. Оценку погрешности можно проводить

по любой из формул

x* xn

f (xn )

или

x* xn

M1 m1

xn xn 1

,

где m1 и M1 –

m1

f

m1

M1<m1 можно

наименьшее и наибольшее значения

на отрезке. В случае, если

(x)

использовать правило останова

xn xn 1

E.

2) «Ручной расчет» трех итераций

Для получения решения уравнения методом хорд воспользуемся следующей рекуррентной формулой:

x	k 1	x	k	f(xk )	(1 x	k	x0 = 0.
				f(1) f(x )

				k

Тема1.2.Методы решениянелинейных уравнений (Лабораторныйпрактикум)

Страница 8

f (x) 1		3x cos (x)
i 03
x0 0
		f x		1 x
x x		0
x x		f(1) f	x
1	0	f(1) f	x	0
			0
x1 0.57809
f x 0.10325
1
		f x		1 x
x x		1
x x		f(1) f	x
2	1	f(1) f	x	1
			1
x2 0.60596
f x	4.0808 10 3
2
		f x		1 x
x x		2
x x		f(1) f	x
3	2	f(1) f	x	2
			2
x3 0.60706
f x	1.59047 10 4
3

Результаты вычислений представлены в виде следующей таблицы:

n	Xn	f(xn)
0	0	2
1	0.5781	0.1032549
2	0.6059	4.080772 •10-3
3	0.6070	1.590771•10-4

3)Погрешность численного решения нелинейного уравнения

Погрешность результата, вычисленного методом хорд, оцениваем по формуле

x* x

M1 m1

x

n

x

n 1

. Тогда после трех итераций

n

m1

x* x

3

3.841 3 0.0011 3.08 10 4,

x* x

0.53 10 4.

3

4. Решение уравнения средствами MathCad

Для решения нелинейных уравнений вида f(x) = 0 в Mathcad используется функция root(f(x), x, a, b), где f(x) – выражение, стоящее в левой части решаемого уравнения, x – аргумент функции, a и b –границы отрезка с корнем. В приведенном ниже примере z - имя переменной, которой присваивается найденное значение корня. Функция root реализует вычисление корня уравнения численным методом с точностью TOL (по умолчанию TOL =1.10-3).

f (x) 1 3x cos(x)
z root (f (x)x 0 1) 0.6071	Страница 9
f (z) 0
Тема1.2.Методы решениянелинейных уравнений (Лабораторныйпрактикум)

2.6. Контрольные вопросы по теме

Методы решения нелинейных уравнений

1.Что представляет собой нелинейное уравнение?

2.Что является корнем нелинейного уравнения f(x)=0?

3.Чемуравна функция в точке корня?

4.Как называется процесс нахождения возможно более узкого отрезка, содержащего только один корень уравнения ?

5.Каково условие существования на отрезке [a;b] хотя бы одного корня?

6.При каких условиях корень x будет единственным на отрезке [a;b]?

7.Процесс решения нелинейного уравнения состоит из...

8.Как называются этапы решения нелинейного уравнения?

9.В чем заключается этап «отделения корней» нелинейного уравнения?

10.Что такое начальное приближение к корню?

11.Что определяется на этапе уточнения корней?

12.Какие методы не относятся к методам отделения корня?

13.Какие методы не относятся к методам уточнения корня?

14.Какие методы используются на этапе отделения корней?

15.Что необходимо, чтобы выбрать x0 в качестве начального приближения в методе Ньютона?

16.Что является необходимым условием существования корня на отрезке [a;b]?

17.Какой метод решения нелинейного уравнения требует более близкого к корню начального значения?

18.Назовите метод решения нелинейного уравнения, в результате которого получается последовательность вложенных отрезков?

19.Можно ли уточнить корень уравнения графическим методом?

20.Что является первым приближением к корню, отделенному на отрезке [a;b], при решении нелинейного уравнения методом половинного деления?

21.При каких условиях метод половинного деления всегда находит корень уравнения f(x)=0?

22.Что означает термин - «метод расходится»?

23.Какой метод решения нелинейного уравнения обладает квадратичной сходимостью?

24.Каково правило выбора итерирующей функции при использовании метода итераций?

25.Что принимается за начальное приближение в методе итерации?

26.Каково правило выбора неподвижной точки при использовании метода хорд?

27.Какое значение выбирается в качестве начального приближения в методе хорд?

28.Почему необходим этап отделения корней?

29.При каких условиях метод хорд позволяет вычислить отделенный корень с заданной погрешностью?

30.Для каких функций не рекомендуется применять метод Ньютона?

31.Что можно сказать о методе итерации, если на заданном отрезке имеются два корня?

32.Как могут осуществляться итерации приближения к корню в процессе решения уравнения методом простой итерации?

33.Какой метод решения нелинейного уравнения обладает свойством «самокоррекции»?

34.Что относится к способам улучшения сходимости метода простой итерации?

Тема1.2.Методы решениянелинейных уравнений (Лабораторныйпрактикум)

Страница 10

Материал: Лабораторные (заочн)

Смотрите также: