Документ: Лабораторные (заочн), страницы 36-40

6. Численное решение ОДУ методом Рунге-Кутты 2 порядка с использованием

Mathcad

Найдем значения численного решение ОДУ методом Рунге-Кутты 2 порядка (функцию y2(x)) во всех точках заданного отрезка [1;6] с шагом h=0.5, используя математический пакет Mathcad, по расчетной формуле метода Рунге-Кутты 2-го порядка:

y

h f(x,y

) f(x

h,y

hf(x,y

)) ,

:

i 1

i

2

i

i i

где

i 0,1,2,...,n 1.

Решение методом Рунге-Кутты 2 порядка - функция y2:

f(x y)

2 x

h 0.5

n 10

i

0 n

1

y

x

1

Начальные условия:

0

1

y20

Формулы для расчета:

xi 1

xi h

h

y2i 1

y2

i

f x y2

f x

h y2

i

h

f x

y2

2

i

Вывод всей таблицы-решения:

i

0 n

xi

y2i

1 1

1.51.875

2 2.64883

2.53.39358

3 4.1251

3.54.84938

4 5.56924

4.5 6.28621

5 7.00118

5.57.71469

68.42713

7.Численное решение ОДУ методом Рунге-Кутты 4 порядка с использованием

Mathcad

Расчетная формула метода Рунге-Кутты 4-го порядка имеет вид: yi 1 yi h6(k1 2k2 2k3 k4 ),

где

k1	f(xi,yi);
k2	f(xi h/2,yi hk1 /2);
k3	f(xi h/2,yi hk2 /2);
k4	f(xi h,yi hk3).	Страница 7
Тема1.5.Методы решенияОДУ (Лабораторный практикум)		Страница 7

ВMathcad для численного решения ОДУ методом Рунге-Кутты 4-го порядка

предназначена функция rkfixed(y, x0, xend, N, D), где y – первоначально равно y0,

x0 и xend – начальное и конечное значения аргумента,

N – количество проводимых вычислений решения(точек таблицы), D - это выражение для вычисления правой части уравнения, т.е. f(x,y).

Результатом вычислений функции rkfixed( ) служит матрица из N+1 строк и 2-х столбцов.

Впервом столбце этой матрицы содержатся координаты узлов x0, x1, x2 … xend, а во втором

– значения приближенного решения в соответствующих узлах.

Найдем значения численного решение ОДУ методом Рунге-Кутты 4 порядка (функцию y4(x))

во всех точках заданного отрезка [1;6] с шагом h=0.5, используя математический пакет

Mathcad:

Решение методом Рунге-Кутты 4 порядка средствами Mathcad :

нач. значение: y0 1

ОДУ: f(x y) 2x y0

Решение для y на отрезке от 1 до 6 из 10 точек - это матрица (табличная функция) Y:

Y rkfixed(y 1 6 10 f)

		0		1

	0		1	1
	1		1.5	1.87137

	2		2	2.64615

	3		2.5	3.39147
Y	4		3	4.12336
Y	5		3.5	4.8479
	5		3.5	4.8479

	6		4	5.56795

	7		4.5	6.28507

	8		5	7.00015

	9		5.5	7.71376

	10		6	8.42627

Для удобства и дальнейших расчетов погрешностей полученного решения дифференциального уравнения правый столбец матрицы Y(т.е. столбец с номером 1) присваивается переменной y4.

Тема1.5.Методы решенияОДУ (Лабораторный практикум)

Страница 8

	y4 Y1	i 0n
	xi	y4i

1 1

1.51.87137

2 2.64615

2.53.39147

3 4.12336

3.54.8479

4 5.56795

4.56.28507

5 7.00015

5.57.71376

68.42627

8.Значения погрешностей численного решения дифференциального уравнения для каждого метода

Для сравнения выведем все полученные разными методами решения

дифференциального уравнения и вычислим значения погрешностей каждого метода как разность между аналитическим (точным) решением и соответствующим численным решением в каждой точке табличной функции.

yti - аналитическое решение ОДУ, y1i - решение ОДУ, полученное методом Эйлера, y2i - решение ОДУ методом Рунге-Кутты 2-го порядка, y4i - решение ОДУ методом Рунге-Кутты 4-го порядка


	n 10	i 0n	x0 1	h 0.5	xi 1	xi h

Запишем аналитическое(точное) решение ОДУ как дискретную функцию yti

yti 2 xi 2 1

Полученные решения:


	xi	yti	y1i	y2i	y4i
	1	1	1	1		1
	1.5	1.87083	2	1.875		1.87137

	2	2.64575	2.75	2.64883		2.64615

	2.5	3.39116	3.47727	3.39358		3.39147

	3	4.12311	4.19623	4.1251		4.12336

	3.5	4.84768	4.91115	4.84938		4.8479

	4	5.56776	5.62382	5.56924		5.56795

	4.5	6.2849	6.33508	6.28621		6.28507

	5	7	7.04541	7.00118		7.00015

	5.5	7.71362	7.75509	7.71469		7.71376

	6	8.42615	8.4643	8.42713		8.42627
							Страница 9

Тема1.5.Методы решенияОДУ (Лабораторный практикум)

Погрешности:			y1i			y2i			y4i
		yti	y1i		yti	y2i		yti	y4i
				0			0		0
			0.12917			4.171·10-3			5.459·10-4
			0.10425			3.08·10-3			3.949·10-4
			0.08611			2.42·10-3			3.089·10-4
			0.07312			1.993·10-3			2.542·10-4
			0.06348			1.697·10-3			2.162·10-4
			0.05605			1.477·10-3			1.882·10-4
			0.05018			1.309·10-3			1.668·10-4
			0.04541			1.175·10-3			1.497·10-4
			0.04147			1.067·10-3			1.359·10-4
			0.03815			9.765·10-4			1.244·10-4
9. Графическая иллюстрация решений
	10
yti	8
yti
y1i	6
y2i	4
y4i	4
	2
	0	1	2	3		4	5		6
					xi
В данном случае все численные решения ОДУ весьма близки к точному решению.

Тема1.5.Методы решенияОДУ (Лабораторный практикум)

Страница 10

5.6. Контрольные вопросы по теме Методы решения дифференциальных уравнений

1.Что такое обыкновенное дифференциальное уравнение?

2.Что такое порядок ОДУ?

3.Что называется аналитическим решением ОДУ 1-го порядка?

4.Что является общим решением ОДУy f(x,y)?

5.Что является геометрической интерпретацией общего решения ОДУy f(x,y)?

6.Что является частным решением ОДУy f(x,y)?

7.Что является численным решением ОДУy f(x,y)?

8.Что относится к начальным условиям при решении ОДУ 1-го порядка численными методами?

9.Имеет ли задача Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка единственное решение?

10.По какому правилу проводят оценкупогрешности решения методов Рунге-Кутты?

11.Как выглядит формула для определения очередного значения функции по методу Рунге-Кутты 1-го порядка?

12.Уменьшение шага интегрирования при использовании методов Рунге-Кутты приводит

куменьшению или увеличению погрешности?

13.В обыкновенном дифференциальном уравнении присутствуют производные разных порядков от одной переменной или только первая производная от нескольких переменных?

14.Методы Рунге-Кутты являются одношаговыми или двухшаговыми методами?

15.Сколько раз на каждом шаге необходимо вычислять y(x,y) в модифицированном методе Эйлера?

16.Очередная точка решения ОДУ методом Рунге-Кутты вычисляется на основании одного или двух предыдущих значений функции?

17.Возможно ли в методах Рунге-Кутты применение переменного шага интегрирования?

18.Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием или дифференцированием?

19.Каковы формулы оценки погрешности методов Рунге-Кутты?

20.Почему метод Эйлера называют методом Рунге-Кутты первого порядка?

21.Модифицированный метод Эйлера иначе называется методом Рунге-Кутты решения ОДУ 1-го или 2-го порядка?

22.Что требуется предварительно сделать, чтобы применить методы Рунге-Кутты при решении ОДУ 2-го порядка?

23.С помощью какого параметра происходит достижение заданной точности решения ОДУ в методе автоматического выбора шага?

24.Можно ли оценить погрешность решения ОДУ, не зная точного решения?

25.В каком методе решения ОДУ подынтегральная функция на отрезке аппроксимируется интерполяционным многочленом 1-го порядка, а затем интегрируется методом прямоугольников?

26.В каком методе решения ОДУ подынтегральная функция на отрезке [xi;xi+1] аппроксимируется интерполяционным многочленом 1-го порядка, а затем интегрируется методом трапеции?

27.Что является начальными условиями ОДУ n-го порядка (для n=2)?

28.Сколько ОДУ 1-го порядка будет содержать система, построенная для решения n-го порядка?

Тема1.5.Методы решенияОДУ (Лабораторный практикум)

Страница 11

Материал: Лабораторные (заочн)

Смотрите также: