Документ: Лабораторные (заочн), страницы 16-20

Интерполяция по формулам Ньютона с использованием Mathcad:

Исходная табличная функция (выбранные узлы) для интерполяции:

	0.3	0.88

	0.5	0.12
x 0.7		y	0.7		n 4	i 0 n
	0.9		0.52

	1.1	0.44
Конечные разности:
1 порядка
y0	y1 y0	0.76		y1	y2 y1 0.82
y2	y3 y2	0.18		y3	y4 y3 0.08

2 порядка

2y0 y1 y0 0.06 2y1 y2 y1 1 2y2 y3 y2 0.1

3 порядка

3y0 2y1 2y0 1.06 3y1 2y2 2y1 1.1

4 порядка

4y0 3y1 3y0 2.16

Линейная, квадратичная и кубическая интерполяция по 1 формуле Ньютона:

Построение многочленов в явном виде: h x1 x0 0.2

Линейный P1(xx) y0 y0 xx x0 3.8xx			2.02
	1 h

Квадратичный	P2(xx) P1(xx)	2y0 xx x0 xx x1
		2 h2
P2(xx) simplify	0.749999999999999275	xx2 3.20000000000000058		xx 1.9075000000000001087

Кубический
P3(xx) P2(xx)	3y03 xx x0 xx x1 xx x2
	6 h

P3(xx) simplify 33.874999999999993025 xx2 22.083333333333329167 xx3 12.479166666666663128 xx 0.411249999999999453

Вычисление значений построенных многочленов в точке xx=a=0.4:


P1(0.4) 0.5	P2(0.4) 0.507	P3(0.4) 0.574

Многочлен 4 степени (пример для сравнения и построения графика):

P4(xx) P3(xx) 4y04 xx x0 xx x1 xx x2 xx x3 24 h

P4(0.4) 0.658



	Тема1.3. Интерполяция функций (Лабораторныйпрактикум)	Страница 6

Графики табличной и интерполирующих функций по 1 формуле Ньютона
t 0.30.4 1.1
	3
yi	2
yi
P1(t)	1
P2(t)	1
P3(t)	0
P4(t)
	1
	20.2	0.4	0.6	0.8	1	1.2
				xi t
Погрешность интерполяции по 1 формуле Ньютона оценивается по формуле:

Rn

q(q 1)(q 2)...(q n)

n 1y0

, где

q

x x0

h

(n 1)!

q

0.4 0.3

0.5

0.2

Для линейной интерполяции:

q (q 1)

3

R1

2

2y0

7.5

10

Для квадратичной интерполяции:

R2

q (q 1)(q 2)

3y0

0.066

6

Для кубической интерполяции:

R3

q (q 1)(q 2)(q 3)

4y0

0.084

24

Линейная, квадратичная и кубическая интерполяция по 2 формуле Ньютона:

Для интерполяции в точке x=a=1 воспользуемся 2 формулой Ньютона

Построение многочленов в явном виде:

h x1 x0 0.2

Линейный

PP1(xx) yn 1y3h xx xn 0.40000000000000008xx 0.88000000000000008

Квадратичный

PP2(xx) PP1(xx) 2y2 xx x xx x
	2 h2	n	n 1
	2 h2
PP2(xx) simplify 1.249999999999999025			xx2	2.89999999999999813	xx 2.1174999999999991227
	Тема1.3. Интерполяция функций (Лабораторныйпрактикум)					Страница 7

Кубический

PP3(xx) PP2(xx) 3y1

xx x

6 h3

n

n 1

n 2

xx2

xx3 12.479166666666663128

P3(xx) simplify 33.874999999999993025

22.083333333333329167

xx 0.411249999999999453

Вычисление значений построенных многочленов в точке xx=a=1:

PP1(1) 0.48

PP2(1) 0.468

PP3(1) 0.399

Графики табличной и интерполирующих функций по 2 формуле Ньютона:

t 0.3 0.4 1.1

2

yi

1

PP1(t)

0

PP2(t) 1

PP3(t)

PP4(t) 2

3

40.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

xi t

Многочлен 4 степени должен быть одинаковым для обеих формул Ньютона, так как в таблице всего 5 узлов,

т.е. использованы все узлы:

П о 1 ф о р м у л е :

P4(xx) P3(xx) 4y0 xx x0 xx x1 xx x2 xx x3

24 h

4

П о 2 ф о р м у л е :

PP4(xx) PP3(xx) 4y0

xx x

24 h4

n

n 1

n 2

n 3

Значение многочлена 4степени в точках хх =0.4 и хх =1 также совпадают для обеих формул:

Д л я 1 ф о р м у л ы Н ь ю т о н а :

P4(0.4) 0.658

P4(1) 0.314

Д л я 2 ф о р м у л ы Н ь ю т о н а :

PP4(0.4) 0.658 PP4(1) 0.314



	Тема1.3. Интерполяция функций (Лабораторныйпрактикум)	Страница 8

Погрешность интерполяции по 2 формуле Ньютона оценивается по формуле:

R

q(q 1)(q 2)...(q n)

n 1y

, где

q

x xn

n

(n 1)!

h

q 1 1.1 0.5

0.2

Для линейной интерполяции:

R1

q (q 1)

2y2

0.013

2

Для квадратичной интерполяции:

R2

q (q 1)(q 2)

3y1

0.069

6

Для кубической интерполяции:

R3

q (q 1)(q 2)(q 3)

4y0

0.084

24

3.Линейная, квадратичная и кубическая интерполяция по формуле Лагранжа

Пусть функция y=f(x) задана таблично значениями в узлах интерполяции:

№ узла-i

xi

y=f(xi)

0	1	2
1	2	4
1	8	20

3	4	5
6	9	10
15	10	8

вычислим значение

интерполяционного

многочлена

в точке x=b=5 по формуле

n

(x x

0

)(x x )...(x

i 1

)(x x

)...(x x

)

Лагранжа Ln(x)

1

i 1

n

yi

(x

x

)(x x )...(x

x

i 0

i

0

)(x

)...(x x )

i

1

i

i 1

i

i 1

i

n

Для обеспечения минимальной погрешности интерполяции перенумеруем узлы исходной таблицы. Определим отрезок, содержащий точку интерполяции: точка xx=b=5 находится внутри отрезка [4;6] и выберем из этого отрезка узел x0, ближайший к точке интерполяции xx=b=5. В данном случае эта точка равноудалена от концов отрезка, поэтому за x0 можно взять любой конец отрезка, например x0=4. Тогда другой конец этого отрезка будет узлом x1=6. Далее выбираем узлы, исходя из их близости к точке интерполяции и по возможности симметрично относительно точки интерполяции b=5. Итак,

x0=4, x1=6, x2=2, x3=9, x4=1, x5=10.

Таким образом, получаем таблицу перенумерованных узлов для построения интерполяционного многочлена Лагранжа с минимальной погрешностью в точке b=5:

№ узла-i

xi

y=f(xi)

0

4

20

1

6

15

2

8

3

9

10

4

1

5

10

8

Интерполяция по формуле Лагранжа с использованием Mathcad:	Страница 9
Тема1.3. Интерполяция функций (Лабораторныйпрактикум)

Исходная табличная функция для интерполяции:

	1		1

	8		2
yt 20		xt 4
	15		6

	10		9

Для интерполяции в точке хх=5 перенумеруем узлы и получим:


	4		20

	6		15
x 2		y	8
	9		10

	1		1

Линейная, квадратичная и кубическая интерполяция по формуле Лагранжа:

Построение многочленов в явном виде и вычисление их значений в точке интерполяции хх= 5:

Л и н е й н а я и н т е р п о л я ц и я :


	xx x			xx x
L1xx( )		1	y0		0	y1
L1xx( )	x	x	y0	x	x	y1
0		1		1	0

L1(xx) simplify 30 52xx

L1(5) 17.5

К в а д р а т и ч н а я и н т е р п о л я ц и я :


	xx x xx x						xx x xx x					xx x xx x
L2xx( )		1		2		y0		0		2	y1		0		1	y2
L2xx( )	x x x x					y0	x	x x		x	y1	x	x x		x	y2
	0	1	0	2			1	0	1	2		2	0	2	1
L2(xx) simplify			75 xx			17 xx2	21
			4		8
L2(5) 19.625

К у б и ч е с к а я и н т е р п о л я ц и я :


L3(xx) simplify	55 xx3	339 xx2	2785 xx	257
	168	56	84	7
L3(5) 18.643

Тема1.3. Интерполяция функций (Лабораторныйпрактикум)					Страница 10

Материал: Лабораторные (заочн)

Смотрите также: