9.25(307). Две половины круглого однородного цилиндра соединены нитью, перекинутой через цилиндр, к концам которой подвешены гири весом Р кГ каждая. Вес цилиндра Q кГ. Плоскость соприкасания половин цилиндра вертикальна. Определить наименьшую величину Р веса гирь, при которой обе половины цилиндра будут находиться в покое на
горизонтальной плоскости.
|
|
Ответ: |
Р = -7Г~ |
кГ. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
3 |
л |
|
|
|
|
|
|
|
к задаче 9.25. |
9.26 (308). |
Найти |
предельную |
высоту |
h |
цилиндра, |
||||||
|
при |
которой |
тело, |
состоящее из цилиндра и полушара |
||||||||
одинаковой плотности и одинакового радиуса |
г, |
теряет |
устойчивость |
|||||||||
в положении равновесия, |
когда |
оно опирается поверхностью полу- |
||||||||||
шара на гладкую горизонтальную плоскость. |
|
|
|
|
|
|||||||
Центр |
тяжести |
всего тела |
должен |
совпадать |
с центром полушара, |
Рас- |
||||||
стояние центра тяжести однородного полушара |
от его основания равно |
3 |
||||||||||
-=.- г. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
Ответ: Л = -£= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9.27(309). |
Найти предельную |
высоту |
h |
конуса, |
при |
которой |
||||||
тело, состоящее из конуса и полушара одинаковой плотности и
радиуса г, |
теряет |
устойчивость в |
положении равновесия при условии |
|
предыдущей задачи. |
|
|||
Ответ: h~ |
|
|
||
|
\ |
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
\ Jв |
в |
|
|
К |
задаче 9.26. |
К задаче 9.27. |
К задаче 9.28. |
|
|
9.28. |
Тонкий |
однородный лист изогнут в виде двух треугольни- |
|
ков |
и квадрата, |
как показано на |
рисунке: равнобедренный треуголь- |
|
ник |
ОАВ |
лежит в плоскости ху, |
прямоугольный треугольник ODE — |
|
в плоскости yz (вершина прямого угла — точка Е), квадрат ОВКЕ — в горизонтальной плоскости. Определить координаты центра тяжести изогнутого листа.
Ответ: хс = 3,33 см, ус — 0,444 см, zc = 3,55 см.
ОТДЕЛ ВТОРОЙ
КИНЕМАТИКА
ГЛАВА III
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
§10. Траектория и уравнения движения точки
10.1.По данному уравнению движения точки на произвольно выбранной траектории построить через равные промежутки времени
шесть положений точки, определить расстояние s по траектории от начала отсчета до конечного положения точки и пройденный его путь а за указанный промежуток времени (s и а — в сантиметрах, t — в секундах).
Ответ: s = 10 см, a = 13 см.
2) s = 1+ It —t%, 0 < t < 2,5.
Ответ: s = — 0,25 см, а —3,25 см.
3) s = 4sinl(W, |
| L ^ < ^ . |
Ответ: s — 0, о = 20 см. |
|
10.2. По данным |
уравнениям движения точки найти уравнения ее |
траектории в координатной форме и указать на рисунке направление движения.
1) x = 3t — 5, y=*4 — 2t/
Ответ: Полупрямая 2х -f- Ъу — 2 = 0 с началом в точке х = — 5,
у= А.
2)x = 2t, y = 8t*.
Ответ: Правая ветвь параболы у = 2лт2 с начальной точкой
х= 0, у = 0.
3)х = 5 sin \0t, у = 3 cos 10£.
|
Ответ: |
Эллипс |
^. -J- ~ = 1 с |
начальной точкой |
х = 0, _у = 3. |
|||
|
4) л; = 2 — 3 cos 5*, у = 4-stn 5£ — 1. |
|
|
|||||
|
Ответ: |
Эллипс |
v |
; -f- |
| 6 |
= 1 с начальной |
точкой |
дг = |
= |
_l,j,= |
-l.' |
|
|
|
|
|
|
|
Ь)х=± |
(е'+ е-% у = | |
{е'- е-'). |
|
|
|||
|
Ответ: |
Верхняя часть правой ветви гиперболы |
х2 —у2 |
= 1 |
||||
с |
начальной |
точкой |
х=1, |
у — 0. |
|
|
|
|
4 И, В, Мещерскив |
97 |
10.3. Построить траекторию точки, радиус-вектор которой изменяется согласно уравнению (г0 и е — постоянные заданные векторы,
iи j — координатные орты): - 1) r = n-\-t-e.
Ответ: Полупрямая, проходящая через начальную точку УИО(ГО) параллельно вектору е.
2) r = |
r0-f-cos£-e. |
|
проходящей через |
точку |
|
Ответ: |
Отрезок |
М^М\ прямой линии, |
|||
М(Го) параллельно вектору е. Начальная |
точка Ж0 (i*o-f-е); |
вторая |
|||
крайняя точка М\(Гъ — е). При t-+oo |
конец радиус-вектора пройдет |
||||
бесчисленное число |
раз через каждую |
точку |
траектории. |
|
|
|
3) r = |
|
^ i |
+ |
*s i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X* |
У2 |
|
|
|
|
|
Ответ: |
Отрезок |
верхней |
части |
|
эллипса - I - T T 5 = |
1. |
Точка начи- |
||||||||||
нает |
движение |
от |
левой |
вершины |
эллипса, монотонно приближаясь |
|||||||||||||
к |
его |
правой вершине. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
10.4 |
(312). |
По |
заданным |
уравнениям |
движения |
точки |
найти |
||||||||||
уравнение |
ее |
траектории, |
а |
также |
указать |
закон движения |
точки |
|||||||||||
по |
траектории, отсчитывая |
расстояние |
от |
начального |
положения |
|||||||||||||
точки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1) |
х=Ы\ |
y = |
U*. |
|
|
|
|
|
5£3. |
|
|
|
|
||||
|
Ответ: |
Полупрямая 4дг—Зу = |
|
О; s = |
|
|
|
|
||||||||||
|
2) |
je = |
3sin£, _y= 3cos£ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Ответ: |
Окружность х*-\-у* = |
9; s = |
3f. |
|
|
|
|
||||||||||
|
3) |
x — acos^t, |
y = |
asinit. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Ответ: |
Отрезок |
прямой |
х^\-у—а |
= |
0, |
причем |
|
|
|||||||||
|
4) |
V |
= |
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jf |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Ответ: |
Окружность х*-\-у* = |
2Ь; s = '. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
10.5 |
(313). |
Мостовой |
кран |
движется |
вдоль |
мастерской согласно |
|||||||||||
уравнению x=t\ |
по крану катится в поперечном направлении тележка |
|||||||||||||||||
согласно |
уравнению |
у=1,Ы |
(х |
и у — в |
метрах, |
t — в секундах). |
||||||||||||
Цепь |
укорачивается |
со |
скоростью |
г> = 0,5 м/сек. Определить |
траек- |
|||||||||||||
торию центра |
тяжести |
груза; в |
начальном |
положении |
центр тяжести |
|||||||||||||
груза находился в горизонтальной плоскости Оху; ось Oz направлена
вертикально |
вверх. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
Траектория — прямая: у= |
l,5x; |
z = |
0,5x. |
|
||||||
10.6 (314). Движение |
точки, |
описывающей |
фигуру Лиссажу, за- |
||||||||
дается |
уравнениями x = |
Zsint, |
_y= |
2cos2£ |
(t—в |
секундах). Найти |
|||||
уравнение траектории, вычертить |
ее |
и указать |
направление движения |
||||||||
точки |
в различные моменты времени. Указать |
также ближайший после |
|||||||||
начала |
движения |
момент |
времени |
tlt |
когда |
траектория |
пересечет |
||||
ось Ох. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
Часть |
параболы 4л:2 -[-9у = |
18, |
вдоль которой |
| J C | ^ 3 , |
||||||
*i = ^- сек.
98
10.7. При соответствующем выборе осей координат уравнения движения электрона в постоянном магнитном поле определяются равенствами
x = asinkt, y = acoskt, z —vt,
где a, k и v — некоторые постоянные, зависящие от напряженности магнитного поля, массы, заряда и скорости электрона. Определить траекторию электрона и закон движения его по траектории.
Ответ: Электрон движется по винтовой линии. Начальная точка дг = О, у = а, 2 = 0; шаг винта /z= T v . Закон движения электрона
по |
винтовой линии: s = у cPk? -j- v21. |
|
|||||
|
10.8. Гармонические колебания точки определяются |
законом |
|||||
x = |
asin(kt-\-е), |
где |
а^>0 — амплитуда колебаний, k^>0 — круго- |
||||
вая |
частота колебаний и s (— ic'^ е sg; я)— начальная фаза. |
|
|||||
|
Определить |
центр |
колебаний а0, амплитуду, круговую- |
частоту, |
|||
период |
Т, частоту |
колебаний / |
в герцах и начальную фазу |
по сле- |
|||
дующим |
уравнениям |
движения |
(х— в сантиметрах, t — в секундах): |
||||
|
|
Уравнение |
движения |
|
|
|
|
10.9 (310). Груз, поднятый на4 упругом канате, колеблется согласно
уравнению |
x = asin.(kt-)-у), |
где а |
— в сантиметрах, k — в сек'1. |
Определить |
амплитуду и круговую |
частоту колебаний груза, если |
|
период колебаний равен 0,4 сек и в начальный момент дг0= — 4 см. Построить также кривую расстояний.
Ответ: а = 4 см; £ = 5тс сек"1.
10.10 (315). Определить траекторию точки, совершающей одновременно два гармонических колебания равной частоты, но разных амплитуд и фаз, если колебания происходят подвум взаимно перпендикулярным осям:
Ответ: Эллипс
4» |
98 |
10.11 (316). Найти уравнение траектории движения точки, получающегося при сложении взаимно перпендикулярных колебаний разной частоты:
2) х = |
a cos 2u>t, |
у = |
а cos |
at. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
1) jf*aa = |
4y9 |
(a*— у9); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2) 2_y9—ax — a2 = |
0, причем |
\\ |
|
|
|
\\ |
|
|
|||||
10.12 (317). Кривошип ОА |
вращается |
|
с постоянной угловой ско- |
|||||||||||
|
|
|
|
ростью |
( « = 1 0 |
сек'1. |
Длина |
ОА = |
||||||
|
|
|
|
= |
АВ^=80 |
|
см. |
Найти |
уравнения дви- |
|||||
|
|
|
|
жения и траекторию |
средней |
точки М |
||||||||
|
|
|
|
шатуна, |
а |
также |
уравнение |
движения |
||||||
|
|
|
-х |
ползуна |
В, |
если |
в |
начальный |
момент |
|||||
|
|
|
|
ползун |
находился |
в |
крайнем |
правом |
||||||
к задаче ю.12. |
|
|
положении; |
оси |
координат |
|
указаны |
|||||||
|
|
|
|
на |
чертеже. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
1) Траекторией точки М |
является |
эллипс |
|
|
|
||||||||
|
|
|
120я |
~1 ~40а |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2)уравнение движения ползуна В
10.13(318). Уравнения движения точки обода колеса, катящегося
без скольжения по прямолинейному рельсу, имеют вид
|
|
x = |
a(kt |
— sin kf), |
_y=a(l—coskt). |
|
|
|
||||||
Определить |
моменты |
времени, когда точка занимает |
низшее, среднее |
|||||||||||
и высшее положения |
на |
траектории, |
считая, |
что |
ось у |
направлена |
||||||||
вверх. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 1) ~Х |
сек; |
2) |
U^ + |
у Ч |
сек; |
3) |
\T-\-J4 |
|
сек, |
где |
|||
Х= |
0, 1, 2, |
3 , . . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.14 (319). Определить уравнения движения и траекторию точки |
|||||||||||||
обода колеса радиуса/?= 1 л автомобиля, если автомобиль |
движется |
|||||||||||||
по |
прямолинейному |
пути |
с постоянной |
скоростью |
20 м/сек. Принять, |
|||||||||
что |
колесо |
катится |
без |
скольжения; за начало |
координат |
взять |
на- |
|||||||
чальное положение |
точки на |
пути, |
принятом |
за |
ось |
Ох. |
|
|
|
|||||
|
Ответ: |
Циклоида x=20t |
— sin20£; _ y = l — c o s 2 0 £ |
|
|
|
||||||||
|
10.15. Даны уравнения движения снаряда: |
|
|
|
|
|
|
|||||||
где |
т>о— начальная |
скорость |
снаряда, |
a — угол |
между |
щ |
и гори- |
|||||||
зонтальной |
осью х, |
g — ускорение |
силы тяжести. |
|
|
|
|
|||||||
|
Определить траекторию движения снаряда, высоту |
Н, дальность |
L |
|||||||||||
и время Т полета |
снаряда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
100