Материал: Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (1975)

55.2 (1347). Весомый шарик находится в полости гладкой трубки,

=glp — безразличное равновесие.

55.4(1349). Материальная точка может двигаться по гладкой плоской кривой, вращающейся вокруг вертикальной оси с узловой скоростью со. Потенциальная энергия V(s) точки задана и зависит только от ее положения, определяемого другой s, отсчитываемой вдоль кривой; г (s) — расстояние точки от оси вращения.

Определить частоту малых колебаний точки около ее относительною положения равновесия.

55.6 (1351). Твердое тело свободно качается вокруг горизонтальной оси NT, вращающейся вокруг вертикальной оси Oz с угловой скоростью со. Точка G—центр инерции тела; плоскость NTG является плоскостью симметрии, ось OG — главной осью инерции. Ось KL параллельна NT, ось ED проходит через точку О и перпендикулярна к NT и OG. Моменты инерции тела относительно осей OG, KL и ED

436

55.7. При условии задачи 48.29 исследовать малые движения системы вблизи положения равновесия а = 0 , ф = — и выяснить, устой-

чиво это положение равновесия или нет. Ответ: Положение равновесия а —0, ф =

= Y неустойчиво.

55.8 (1352). Определить положения относительного равновесия маятника, подвешенного с помощью универсального шарнира О к вертикальной оси, вращающейся с постоянной угловой скоростью со; маятник симметричен относительно своей продольной оси; А к С — его моменты инерции относительно главных центральных осей инерции £, х\ и £; Л—рас- стояние центра тяжести маятника от шарнира. Исследовать устойчивость положений равновесия маятника и определить период колебаний около среднего положения равновесия.

колебаний

Т-

56.9 (1353). Вертикальная ось симметрии гонкого однородного круглого диска радиуса г и весом Q может свободно вращаться вокруг точки А. В точке В оно удерживается двумя пружинами. Оси

437

пружин горизонтальны и взаимно перпендикулярны, их жесткости

квертикали. Исследовать устойчивость

g sin a *

55.11 (1355). Материальная точка вынуждена двигаться по гладкой поверхности тора, заданного параметрическими уравнениями

,2

тд

438

Ответ'. Значения &==&;= const находятся из уравнения

где а = — , р = —^-; (J) = со = const. Это уравнение допускает два существенно различных решения:

Движение, соответствующее первому решению, устойчиво, второму —• неустойчиво.

55.12 (1356). Исследовать устойчивость движения обруча, равномерно катящегося с угловой скоростью ш по горизонтальной плоскости. Плоскость обруча вертикальна; радиус обруча а.

Ответ: Движение устойчиво, если ш 2 > ^ .

55.13 (1357). Колесо с четырьмя симметрично расположенными спицами катится по шероховатой плоскости. Плоскость колеса вертикальна. Ободья колеса и спицы сделаны из тонкой тяжелой проволоки. Радиус колеса а, скорость центра его в исходном движении v. Исследовать устойчивость движения.

Ответ: Движение устойчиво при v2 >• • % .- •ag.

55.14(1358). Исследовать устойчивость движения однородного

Кзадаче 55.15.

55.15(1359). На материальную точку массы т, отклоненную от положения равновесия, действуют: сила Fn по величине пропорцио-

нальная отклонению ОМ = г = ] / ^ a + J 2 «3 этого положения и

439

направленная к нему, сила Fr перпендикулярная к первой (боковая сила), по величине тоже пропорциональная отклонению г:

Прямолинейной форме стержня соответствует состояние равновесия. Коэф-

циент системы, р— коэффициент сопротивления, с — жесткость пружин регулятора, ш— мгновенная и ш0 — средняя угловая скорость машины, А—постоянная. Уравнение движения машины имеет вид

(В—постоянная, J—приведенный момент инерции вращающихся частей двигателя).

Установить условия устойчивости системы, состоящей из двигателя и регулятора.

- Ответ: Система устойчива при

т

(с, р, J, А, В считаются положительными).

55.19(1363). Симметричный волчок, острие которого помещено

внеподвижном гнезде, вращается вокруг своей вертикально расположенной оси. На него поставлен второй симметричный волчок, кото-

440