Материал: Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (1975)

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

рый также вращается вокруг вертикальной оси. Острие оси второго волчка опирается на гнездо в оси первого волчка. М и М — массы верхнего и нижнего волчков, С и С — их моменты инерции относительно осей симметрии; А и А' — моменты инерции относительно горизонтальных осей, проходящих через острия; с и е ' — расстояния центров тяжести волчков от соответствующих остриев; h — расстояние между остриями. Угловые скорости волчков Q и Q'. Вывести условия устойчивости системы.

Ответ: Система устойчива, если все корни уравнения четвертой степени

[АА' + Mh2			(А — Мс2)] X* -f [A'C'Q' + CQ (A' -f Mh2)] Xs +
	+ [A (Me' + Mh)g+ (A' + Mh2) Mcg+ CC'QQ'] Xa +
			+ [CQ (Me' + Mh) g+ C'2'Mcg]X + Mc (Me' + Mh)		g2=0
различны		и вещественны.
55.20. Деталь /				перемещается поступательно с постоянной скоро-
стью	v0	и	через	пружину передает движение ползуну 2. Сила	тре-
ния	между		ползуном и направляющими 3 зависит от скорости пол-
зуна	v следующим			образом:

/ / = / / 0 sign v—<ro -f- $гР,

где HQ, a, p — положительные коэффициенты.Определить, при каких значениях v0 равномерное движение ползуна является устойчивым.

i Ответ:

К задаче 55.20.

К задаче 55.21.

55.21. Агрегат, состоящий из двигателя / и машины 2, соединенных упругой муфтой 3 с жесткостью с, рассматривается как двухмассовая система. К ротору двигателя, имеющему момент инерции Jlt приложен момент Mv зависящий от угловой скорости ротора $ следующим образом:

К валу машины, имеющему момент инерции J2> приложен момент сил сопротивления, зависящий от угловой скорости вала ф:

М2 = М0—р-2(ф—о»0).

Коэффициенты (^ и fi2 положительны. Определить условия, при которых вращение системы с угловой скоростью ю0 является усгойчивым.

Ответ:

441

55.22. Уравнения возмущенного движения имеют вид

Л _ .	9v	V	v	v	v-	v	V
и-]_ -	' A.~*V j	" ' З ~"~ " * 3 ~"~ "			4>	" 2 "—	1 """"" 4*

Определить собственные числа и устойчивость системы. Ответ: 'k-l='k2 = — 1 , Х3 — А4—0; движение устойчиво.

55.23. Уравнения возмущенного движения имеют

	л j '~—^™* &Ж j ~'		•Л'2 " * ^ 3"™"""		АР' ^2 — •
	^	,	TV*	О V*	_ ^ О V*
	лз —		^ ^ 1	""^З		"-"4'
	Определить	собственные			числа		и устойчивость
	системы.
	Ответ: Я,1= Лз= — Ь				Яз= Я4= 0; движение
	неустойчиво (сравнить с ответом к задаче 55.22).
	55.24. Исследовать устойчивость						установившегося
К задаче 55.24.	Движения (8= C0nst, i\|) —Const)					СферичеСКОГО МЭЯТ-
	ника относительно		величин	б, 9 и ф.

У к а з а н и е . Воспользоваться линейной связкой интегралов. Ответ: Движение устойчиво.

§56. Нелинейные колебания

56.1(1291). При испытаниях рессор была получена «треугольная»

характеристика	изменения упругой силы. При отклонении рессоры
от положения	статического равновесия имеет место верхняя ветвь (cj)

характеристики, при возвращении —нижняя ветвь (с2) характеристики.
В начальный момент рессора	отклонена от положения статического
		равновесия	на х0 и не имеет
		начальной скорости. Масса рес-
		соры т\ коэффициенты жестко-
		сти рессоры сх и с2. Написать
		уравнения	свободных	колеба-
	~х	ний рессоры для первой поло-
		вины полного периода колеба-
		ний и найти полный период
К задаче 56.1.		колебаний	Г.
К задаче 56.1.		Ответ:	При возвращении
		Ответ:	При возвращении
		рессоры в положение		статиче-
ского равновесия x — x0cosk%t;	при отклонении от положения стати-
ческого равновесия

442

56.2 (1292). Определить закон убывания амплитуд свободных колебаний рессоры, рассмотренной в предыдущей задаче. При записи свободных колебаний был получен следующий ряд последовательно убывающих амплитуд: 13,0 мм, 7,05 мм, 3,80 мм, 2,05 мм и i. д. Определить согласно данным виброграммы отношение коэффициентов жесткости с^с^, соответствующих верхней и нижней ветвям «треугольной» характеристики.

Ответ: Последовательные значения амплитуд через каждые полпериода колебаний убывают по закону геометрической прогрессии со знаменателем

56.3. Масса т колеблется на пружине, коэф-

фициент

жесткости

которой с. На одинаковых рас-

стояниях А от положения равновесия установлены

жесткие

упоры. Считая,

что удары

об упоры

проис-

к задаче 5б.з.

ходят с коэффициентом восстановления, равнымеди-

нице,

определить

закон

движения

системы при периодических коле-

баниях

с частотой

<в. Найти возможные

значения <в.

я \

я { * с

Ответ: х = —г— sin д

г — д— 1 при Oss^rsg: — Ik — —

2(о /

со \

от

8 Ш 25

56.4.

Решить

предыдущую

задачу в предположении, что имеется

только

нижний упор.

/я

2я

Ответ: х=

rcosf

при 0 ^ / ^ —; k*e^a>*£^Zk.

COS Jlft

\ СО

(О

56.5. Определить

зависимость амплитуды первой гармоники свобод-

ных колебаний от их частоты в системе, уравнение движения которой имеет вид

			тх + Fo sign JC-j-	ex=0.
Ответ: а,1	= —	;	— 2^ — r .
	л (mo) — c)
56.6. Движение			системы описывается	уравнением

х + (i2 + кгхг - а2) к+ Аадг= 0.


Определить амплитуду				автоколебательного			процесса, возникающего
в системе; исследовать его устойчивость.
Ответ: a= a/k;			автоколебания устойчивы				в большом.
56.7		Выявить	условия,		при	которых в	системе, рассмотренной
в задаче 55.20, могут				возникнуть		автоколебания, близкие к гармони-
ческим колебаниям			частоты		А= Т / — , где		с —коэффициент жест-
кости	пружины, т —масса				ползуна! Определить приближенно ампли-
туду	этих	автоколебаний.
Ответ: 0,8 ^<vl<^;						~ £ ( $ - 5) .

443

56.8. Предполагая, что в системе, рассмотренной в задаче 55.20, сила трения Н постоянна и равна Яа при v^O и равна # i при г/= 0 («трение покоя»), определить период автоколебаний. Принять, что масса ползуна равна т, а коэффициент жесткости пружины с.

Ответ: Т=^+

-^(1

— cosktj, гж *=K--±1^L-,

k==y - ,

— наименьший корень уравнения

a sinktx = cos kti — 1.

56.9.

Macca

связана

неподвижным

основанием

пружиной

жесткостью с

демпфером

сухого трения, величина силы сопро*

тивления в котором не зависит

от скорости

и равна Н. На одинако-

вых расстояниях

Д от положения равновесия установлены жесткие

упоры. Считая,

что удары

об

упоры

происходят

с коэффициентом

восстановления, равным единице, определить

значение И, при котором

вынуждающая

сила

Fcosiot

не может

вызвать

субгармонических

резонансных колебаний, имеющих частоту w/s (s — целое число).

Указание .

Определить

. условия

существования

периодического

режима, близкого к свободным

колебаниям системы с частотой

и/s.

Ответ: Для четного s

//^>0; для нечетного

56.10.

Центр

однородного

кругового

цилиндра,

катящегося без

скольжения по горизонтальной плоскости, соединен пружиной с неподвижной точкой О, находящейся на одной горизонтали с центром диска. Масса цилиндра равна т, коэффициент жесткости пружины с. В положении равновесия пружина не деформирована, длина ее равна /.

Определить зависимость периода малых колебаний цилиндра около положения равновесия от амплитуды а, сохранив в уравнении движения члены, содержащие третью степень перемещения.

Ответ: Г = 4/ т/б £ I _ ^ = = 4 КЗ т/« LK Ш где

К— полный эллиптический интеграл первого рода.

56.11.Методом малого параметра определить амплитуду а и период Т автоколебаний, возникающих в системе, движение которой определяется уравнением

А р* К Л •— •-• |л | ^ * А / А —

Ответ: а — 2я; 7 = у (1 —

56.12. Уравнения движения маятника в среде с сопротивлением и постоянным моментом, действующим только в одном направлении, имеют вид

-Ni%	при
= 0	при

где A, k иЖ» — постоянные величины.

444

Источник: https://files.student-it.ru/previewfile/280970

Смотрите также:



17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ