23.29 (478). Квадрат ABCD со стороною 2а см вращается вокруг Стороны АВ с постоянной угловой скоростью ш*=%\/г2 сек'1. Вдоль диагонали АС совершает гармоническое колебание точка М по закону
|
|
|
|
|
£= a cos -~-1 см. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Определить |
|
величину |
абсолют- |
|||||||||
|
|
|
|
|
ного |
ускорения точки при £—1 сек |
||||||||||||
|
|
|
|
|
и t — 2 сек. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
wai = ак2 У5 |
см/сек2; |
|||||||||
|
|
|
|
|
wa* = 0,44атс2 |
см/сек2. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
23.30. Слержень ОА вращается |
||||||||||||
|
|
|
|
|
вокруг |
|
оси |
z, |
проходящей |
через |
||||||||
|
|
|
|
|
точку |
О, |
с |
угловым |
замедлением |
|||||||||
К задаче23.28. |
К задаче23.29. |
10 сек~г. Вдоль стержня от точки О |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
скользит шайба М. Определить |
абсо- |
||||||||||||
лютное ускорение шайбы в момент, когда |
она находится на расстоя- |
|||||||||||||||||
нии 60 см от точки |
О |
и имеет |
скорость |
и ускорение |
в движении |
|||||||||||||
вдоль стержня |
соотве!ственно |
120 см/сек и 90 см/сек2, если |
в этот |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
момент угловая скорость |
стержня |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
равна |
5 |
сек~К |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
ге>а=1533 см/сек2 и |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
составляет |
|
с |
направлением |
МО |
||||||||
|
|
|
|
|
|
угол |
в 23°. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
23.31. Шайба М движется по |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
горизонтальному |
стержню |
ОА, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
так что ОМ = 0,Ы2 |
см. В то же |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
время |
стержень вращается |
вокруг |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
вертикальной оси, проходящей че- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
рез |
точку |
О, по закону <p = |
t2-\-t |
|||||||||
К задачам 23.30 и 23.31. |
|
Определить |
радиальную |
и транс- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
версальную |
составляющие |
|
абсо- |
|||||||||
лютной скорости и абсолютного |
ускорения шайбы в момент t = 2 сек. |
|||||||||||||||||
Ответ: |
vr—2 |
см/сек, г>9=10 |
см/сек; wr = ~ 49 см/сек2, |
|||||||||||||||
|
•a>f=24 см/сек2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
23.32. Круг |
радиуса |
г вращается с постоянной угловой скоростью |
||||||||||||||||
t» вокруг неподвижной |
точки |
О, |
лежащей |
на его окружности. При |
||||||||||||||
|
|
|
|
вращении |
круг |
пересекает |
неподвижную |
|||||||||||
|
|
|
|
горизонтальную |
|
прямую — ось |
х, |
|
про- |
|||||||||
|
|
|
|
ходящую |
через |
|
точку |
О. Найти |
ско- |
|||||||||
|
|
|
|
рость |
и ускорение |
точки |
М пересече- |
|||||||||||
|
|
|
|
ния |
круга |
с |
осью |
х |
в движениях |
этой |
||||||||
|
|
|
|
точки |
по |
отношению |
к |
кругу и по от- |
||||||||||
|
|
|
|
ношению |
к |
оси |
х. |
Выразить |
искомые |
|||||||||
к задаче 23 32. |
|
величины |
через |
расстояние |
0М=х. |
|
||||||||||||
Ответ: |
По отношению к прямой Ох |
точка |
М движется |
со ско- |
||||||||||||||
ростью — ш ]/Чг2—Xs |
и ускорением |
—ш2лг. По отношению к кругу |
||||||||||||||||
176
точка движется в сторону, противоположную |
вращению круга, |
с по- |
|||||||||||
стоянной |
скоростью 2<ог |
и ускорением |
4м2г. |
|
|
|
|
||||||
23.33. |
Горизонтальная |
прямая АВ перемещается |
параллельно |
самой |
|||||||||
себе по вертикали |
с постоянной |
скоростью |
и и пересекает |
при этом |
|||||||||
неподвижный |
круг |
радиуса г. Найти |
скорость |
и ускорение |
точки М |
||||||||
пересечения |
прямой с окружностью |
в движениях |
этой точки относи- |
||||||||||
тельно круга |
и относительно |
прямой |
АВ в |
функции от угла |
<р (см. |
||||||||
чертеж). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
1) В движении по окружности |
точка |
М имеет |
скорость |
|||||||||
-Д- и касательное |
ускорение |
— |
?°д? , нормальное ускорение |
" 2 , |
|||||||||
|
2) По |
отношению |
к |
прямой АВ |
точка М движется со |
||||||||
скоростью |
" c.os ? и |
ускорением |
|
^—. |
|
|
|
|
|
||||
|
яп 9 |
|
|
|
г |
sin3 ср |
|
|
|
|
|
||
Кзадаче 23.33.
23.34.Полупрямая ОА вращается в плоскости чертежа вокруг неподвижной точки О с постоянной угловой скоростью ш. Вдоль ОА
перемещается |
точка |
М. В момент, когда полупрямая |
совпадала с |
осью |
||||||||
лг, точка М находилась в начале координат. |
|
|
|
|
||||||||
Определить |
движение точки |
М |
относительно |
полупрямой |
ОА, |
|||||||
если известно, |
что |
абсолютная |
скорость |
v точки |
М постоянна по |
|||||||
, величине. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определить |
также |
абсолютную |
траекторию |
и абсолютное |
уско- |
|||||||
рение точки |
М. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
Точка |
М |
движется |
по ОА |
со скоростью |
vr=vcos<at. |
||||||
Абсолютная |
траектория |
точки |
М—окружность, |
ее уравнение |
||||||||
в полярных |
координатах |
r=—sin<p> в |
декартовых |
координатах |
||||||||
х*-\-\У — <г) |
= |
\ 2 / • Абсолютное |
ускорение |
точки М даа = |
|
|||||||
23.35. Точка движется с постоянной скоростью v по радиусу диска, вращающегося с постоянной угловой скоростью ш вокруг оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр. Определить абсолютное ускорение точки в тот момент, когда она будет находиться на расстоянии т от центра диска.
|
Ответ: |
wa |
= «> ]/72ш2 + 4г>8. |
|
|
|
|
23.36. |
Шарик Р |
движется |
со скоростью |
120 см/сек от А к В |
|
по |
хорде |
АВ |
диска, |
вращающегося вокруг |
оси, проходящей через |
|
^его |
центр |
перпендикулярно к |
плоскости диска. Найти абсолютное |
|||
177
ускорение шарика, когда он находится на кратчайшем расстоянии от центра диска, равном 30 см. В этот момент угловая скорость диска равна 3 сек'1, угловое замедление равно 8 сек~*.
|
|
|
|
Ответ: wa=l0\8 см/сек*. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
23.37. Решить предыдущую |
задачу |
в предпо- |
|||||||||
|
|
|
ложении, что диск вращается вокруг диаметра, |
||||||||||||
|
|
|
параллельного |
хорде. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Ответ: |
wa |
= |
361,2 |
см]сек1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23.38. Решить |
задачу 23.36 при условии, что |
||||||||||
|
|
|
осью вращения диска является диаметр, перпенди- |
||||||||||||
|
|
|
кулярный к |
хорде. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Ответ: wa |
= 720 см/сек*. |
|
|
|
|
|
|
||||
К задаче |
23.36. |
|
23.39. Корабль, находящийся на экваторе, |
идет |
|||||||||||
|
|
|
курсом северо-восток. Скорость движения корабля |
||||||||||||
равна 20 |
узлам. Найти абсолютную |
скорость и кориолисово ускоре- |
|||||||||||||
ние |
корабля с учетом |
вращения Земли, считая радиус Земли равным |
|||||||||||||
R = |
6378 |
км |
(наименование |
курса |
указывает, |
куда |
идет |
судно; |
|||||||
узел = 1 морская |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
час |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: va |
= 470,4 м/сек; |
wc |
= |
1,06 • 10 3 м)секъ. |
|
|
|
|
|
|||||
23.40. В условиях |
предыдущей |
задачи найти |
абсолютное |
ускоре- |
|||||||||||
|
|
|
|
ние корабля, считая его скорость постоян- |
|||||||||||
|
|
|
|
ной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: wa = 347,766 • 10~4м/сек*. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
23.41. По ободу диска |
радиуса R, |
вра- |
|||||||||
|
|
|
|
щающегося |
вокруг |
своего |
диаметра |
с |
по- |
||||||
|
|
|
~Z> стоянной угловой скоростью о), |
движется |
с |
||||||||||
|
|
|
|
постоянной |
по модулю |
скоростью |
V |
точка |
|||||||
|
|
|
|
М. Найти |
абсолютное |
ускорение |
точки |
М |
|||||||
|
К задаче 23.41. |
как функцию угла |
<р> составленного |
радиус- |
|||||||||||
|
вектором |
точки с осью |
вращения диска. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
Ответ: wa = j / i £ + ш*#*sin*<P + 2 t o V |
0 + cos2?)• |
|
|
|
|
|
|||||||||
23.42. Диск радиуса R вращается с постоянной угловой скоростью (о вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно к плоскости диска. По одному из диаметров диска движется точка М так, что ее расстояние от центра диска меняется по закону
Найти абсолютную |
траекторию, |
абсолютную |
скорость и абсолютное |
||||
ускорение |
точки М. |
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
Если начальное |
положение точки |
М принять |
за начало |
|||
координат, |
а ось у |
направить |
по |
начальному |
положению |
диаметра, |
|
по которому движется точка |
М, то |
уравнение |
траектории |
будет |
|||
178
(окружность |
половинного |
радиуса |
с центром на середине |
радиуса). |
||||||||
Абсолютная |
скорость |
va |
= taR. Абсолютное ускорение |
wa — 2u>2R. |
|
|||||||
23.43. Диск вращается |
с постоянной угловой |
скоростью |
ю вокруг |
|||||||||
оси, проходящей |
через |
|
его центр |
перпендикулярно |
к |
плоскости |
||||||
диска. По |
хорде |
АВ |
из ее середины D движется |
точка М с постоян- |
||||||||
ной относительной скоростью и. Хорда |
отстоит |
от центра |
диска |
на |
||||||||
расстоянии |
с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти |
абсолютную |
скорость и абсолютное |
ускорение |
точки |
М |
|||||||
в функции |
от |
расстояния |
DM=x. |
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: |
va |
= ]/"(о3х2 -f (а + »с)а ; |
wa |
= w j / ш 2 * 2 + (2а + ше)*. |
|
|||||||
|
|
|
К |
задаче 23.42. |
|
|
|
К задаче 23.43. |
|
К |
задаче 23.44. |
|
|
||||||||||
|
23.44. По подвижному радиусу диска от |
|
центра |
|
к |
ободу дви- |
|||||||||||||||||
жется |
точка |
М |
с постоянной скоростью |
|
vr. Подвижный радиус |
пово- |
|||||||||||||||||
рачивается |
в |
плоскости |
диска |
с |
постоянной угловой |
скоростью шх. |
|||||||||||||||||
Плоскость |
диска вращается вокруг своего диаметра |
с постоянной |
|||||||||||||||||||||
угловой |
скоростью |
щ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£= |
0 |
|||||||
|
Найти |
|
абсолютную |
|
скорость |
точки |
М, |
считая, |
что |
при |
|||||||||||||
точка |
М находилась в центре диска, а подвижный радиус |
был направ- |
|||||||||||||||||||||
лен по |
оси |
вращения |
диска. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Ответ: |
va = vr |
УI |
+1% (S + К s i n 2 "ЧО- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
23.45. |
|
Точка движется со скоростью 2 м/сек |
по |
окружности |
||||||||||||||||||
обода диска диаметром 4 м. Диск вращается |
в |
противоположном |
|||||||||||||||||||||
направлении, |
имея |
в |
данный |
момент |
|
угловую |
скорость |
2 сек"1 |
к |
||||||||||||||
угловое ускорение 4 сек'2. |
Определить |
|
абсолютное |
ускорение |
точки. |
||||||||||||||||||
|
Ответ: |
|
ге»о=8,24 |
м!,сек2 и направлено под углом 76° |
к радиусу. |
||||||||||||||||||
|
23.46. Диск |
вращается |
вокруг |
оси, |
|
перпендикулярной |
к плоско- |
||||||||||||||||
сти |
диска |
|
и |
проходящей |
через |
его |
центр, |
по |
закону |
2 |
|
||||||||||||
|
®=—t3. |
||||||||||||||||||||||
Вдоль |
|
радиуса |
диска |
начинает |
двигаться |
точка |
|
по |
закону |
||||||||||||||
s = 4£2—lOt-j-8 |
(см). |
|
Расстояние |
s |
|
измеряется |
от |
центра |
диска. |
||||||||||||||
Определить |
|
абсолютную |
скорость |
и |
абсолютное |
ускорение |
точки |
||||||||||||||||
в |
момент |
времени |
t = |
1 |
сек. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Ответ: |
|
г»о = |
4,47 |
см/сек; wa = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
23.47 |
(479). Полое кольцо радиуса r-жестко соединено с валом АВ, |
|||||||||||||||||||||
и |
притом |
|
так, что ось вала расположена в |
плоскости |
оси кольца. |
||||||||||||||||||
Кольцо |
заполнено |
жидкостью, |
движущейся |
в |
нем |
в |
направлении |
||||||||||||||||
стрелки |
с |
постоянной |
относительной скоростью и. Вал |
АВ |
вращается |
||||||||||||||||||
179
по направлению движения стрелки часов, если смотреть по оси вращения от Л к В. Угловая скорость вала <и постоянна. Определить величины абсолютных ускорений частиц жидкости, расположенных в точках 1, 2, 3 я 4.
1 |
а |
|
8 |
|
|
— |
Ответ: гг) = гш — |
=3го> |
|
-}- —; «е>8= и>4 |
= |
||
|
|
|
h? |
|
fiwa |
|
|
|
К задаче 23.47. |
К задаче 23.48. |
К задаче 23.49. |
|
23.48 (480). По условиям предыдущей задачи, |
измененным лишь |
|
в |
том отношении, что плоскость оси кольца будет |
перпендикулярна |
|
к |
оси вала АВ, определить |
те же величины в двух |
случаях: |
1)переносное и относительное движения одного направления;
2)составляющие движения противоположны по направлению.
Ответ: 1) Wi = ra>8 — 2мш; |
w3 = Згш2 + — шгг; |
||
2) Wi= гша — у + 2мсо; |
та>3 |
= |
~ — 2сод; |
|
- |
2wu) |
|
23.49 (481). Точка М равномерно движется по образующей кругового конуса с осью ОА от вершины к основанию с относительной
скоростью v/, угол МОА —а. В момент |
£= |
0 расстояние |
0М<,=а. |
||||||
Конус равномерно вращается вокруг |
своей оси с угловой скоростьюи>. |
||||||||
Найти абсолютное ускорение точки М. |
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: Ускорение лежит |
в |
плоскости, |
перпендикулярной к оси |
||||||
вращения, и представляет собой |
гипотенузу |
треугольника с катетами |
|||||||
wm = ш2(a -}-vrt) sin a |
и |
wc = |
2tv« sin a. |
|
|
||||
23.50 (482). Определить в предыдущей задаче |
величину |
абсолют- |
|||||||
ного ускорения точки М в момент |
t = |
1 сек в |
том случае, когда |
||||||
она движется по образующей |
конуса |
с |
постоянным относительным |
||||||
ускорением wr, направленным |
от |
вершины конуса к основанию, при |
|||||||
следующих данных: a = 30°, а=\5см, |
|
wr |
= |
10 см\секг, |
ш = 1 сек'*, |
||||
в момент t = 0 относительная скорость |
точки vr |
равна |
нулю. |
||||||
Ответ: 10=14,14 см/сек*. |
|
|
|
|
|
|
|
||
180