Материал: Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (1975)

времени t = i:/y ct.

27.67. Тяжелая

точка массы

т падает из положения, определяе-

мого координатами

д-0 = 0, уа

=

1г при ^= 0, под

действием силы

тяжести (параллельной оси у)

и

силы отталкивания

от оси у, про-

порциональной

расстоянию от этой оси (коэффициент пропорциональ-

ности с). Проекции начальной

скорости точки

на оси

координат

равны

vx = va,

vy

= 0. Определить траекторию

точки,

а также

момент

времени

tt

пересечения

оси х.

Ответ: Траектория

о\

27.68. Точка

М МаССЫ Ш ДБИЖетСЯ

К задаче 27 68.

под

действием

силы тяжести

по глад-

кой

внутренней

поверхности

полого цилиндра радиуса г. В

на-

чальный

момент

угол сро = 7:/'2, а скорость

точки равнялась

ну-

лю. Определить

скорость точки М и реакцию поверхности цилиндра

при

угле

<р =

30°.

Ответ: v = У~Ъ • У"§т;

Т = —\т— mg.

28.1

(733). Железнодорожный

поезд

движется по горизонтальному

и прямолинейному

участку

пути.

При торможении развивается сила

сопротивления, равная 0,1 веса поезда,

В момент начала торможения

скорость

поезда

равняется

72 км\час.

Найти время

торможения и

тормозной

путь.

Ответ:

20,4 сек; 204 м.

28.2

(734). По шероховатой наклонной плоскости,

составляющей

с горизонтом

угол

а ==30°,

спускается

тяжелое

тело без начальной

скорости. Определить, в течение какого времени

7" тело

пройдет

путь

длиной

/=

39,2 м, если коэффициент трения / = 0 , 2 .

Ответ: Т =Ь

сек.

28.3 (735). Поезд весом

400 т входит на подъем i = tga = 0,006

(где

а — угол

подъема) со скоростью 54 км/час.

Коэффициент тре-

ния

(коэффициент суммарного

сопротивления) при движении

поезда

равен

0,005.

Через

50 сек

после

входа

поезда

на

подъем его ско-

рость

падает

до 45 км/час.

Найти

силу

тяги тепловоза,

Ответ: 2,36 т.

28.4 (736). Гирька М привязана к концу нерастяжимой нити МОА,

часть

которой

ОА

пропущена

через вертикальную

трубку;

гирька

движется вокруг оси трубки по окружности

радиуса

MC = R, делая

120

об/мин.

Медленно

втягивая

нить

бА

в

трубку,

укорачивают

наружную часть нити до длины

ОМЪ

при которой

гирька описывает

окружность

радиусом

-^R.

Сколько обо-

ротов

в

минуту

делает

гирька

по этой

м-f

окружности?

Ответ: 480 об/мин.

28.5 (737). Для определения веса гру-

женого

железнодорожного

состава

между

тепловозом и вагонами установили динамо-

метр. Среднее

показание

динамометра

за

2

мин

оказалось

100,8

т. За это

же

время

состав

набрал

скорость

v =

=

57,6

км/час

(вначале

состав

стоял

на

месте).

Коэффициент

трения

/=0,02.

К задаче

28.4.

Найти

вес состаза.

Ответ: Вес состава 3000 т.

28.6

(738).

Каков

должен

быть

коэффициент

трения

/

колес

заторможенного

автомобиля

о

дорогу,

если

при

скорости

езды

г> = 72

км/час

он" останавливается

через

6

сек

после начала тор-

можения?

Ответ: f~

0,34'.'

28.7

(739).

Пуля весом

Р = 20 Г

вылетает

из

ствола

винтовки

со

скоростью

v = 650

м/сек,

пробегая

канал

ствола

за

время

£= 0,00095

сек.

Определить

среднюю

величину

давления

газов,

выбрасывающих

пулю, если

сечение канала s = 1 5 0

мм2.

Ответ: Среднее давление

9,31

кГ/мм2.

28.8 (740). Точка М движется

вокруг

неподвижного центра под

действием

силы

притяжения

к

этому

центру,

Найти

скорость

v.t

в наиболее

удаленной

от

центра

точке

траектории,

если

скорость

точки в наиболее

близком

к нему

положении

vx

= 30

см/сек,

а

г2

в пять раз больше гу.

Ответ: г'2

=

6

см/сек.

К задаче 28.8.

К задаче 28.9.

28.9 (741).

Найти импульс равнодействующей всех'сил, действую-

щих на снаряд

за время, когда снаряд из

начального положения О

переходит в наивысшее положение М.

Дано: v0 = 500 м/сек, а0 = 60°,

г>х = 200

м/сек, вес снаряда 100 кГ,

Ответ: Проекции импульса равнодействующей:

Sx

= — 510 кГ сек;

S4 — — 441О.кГсек.

28.10 (742). Два метеорита

М\ и 7И9

описывают один и тот же

эллипс, в фокусе которого 5

находится

Солнце. Расстояние между

ними настолько мало, что дугу

М\Ма, эллипса можем считать за отре-

зок прямой. Известно, что расстояние MiM% равнялось а, когда сере-

движутся

с равными секториаль-

ными скоростями, определить рас-

стояние МуМъ когда середина его

будет проходить через афелий А,

если известно, что

SP = R\

и

Ответ: М\М% = ~ а.

к задаче 28 ю.

28.11 (743). Мальчик весом

40 кГ стоит на полозьях спортивных

саней, вес

которых

с грузом равен 40 кГ, и делает каждую секунду

толчок с

импульсом

2 кГсек.

Найти скорость, приобретаемую санями

за 15

сек, если

коэффициент трения

/ = 0 , 0 1 .

Ответ: г)=

2,2

м/сек.

28.12 (744). Точка совершает

равномерное

движение

по

окруж-

ности

со

скоростью

v = 20 см/сек,

делая

полный

оборот

за

время

7" = 4

сек.

Найти

импульс

сил S,

действующих

на точку,

за время

одного

полупериода,

если

масСа

точки

т =

5

г.

Определить

среднее зна-

чение силы F.

s

Ответ: 6 " = 200 дин сек; F=W0

дин

и направлена

по конечной

скорости.

28.13

(745). Два

математических

маятника, подвешенных

на нитях

длиной

4

и /а

(h^>

h)> совершают

колебания одинаковой амплитуды.

Оба маятника

одновременно начали

двигаться

в одном

направлении

мени

Т.

Ответ:

Л/ ~ =

~, где k, п — целые числа

и дробь — несокра-

тима;

Г =

А7"2 = йГ1.

28.14

(746). Шарик весом р, привязанный к нерастяжимой нити,

скользит

по

гладкой

горизонтальной плоскости;

другой конец нити

известно, что

в начальный момент нить

расположена по прямой, рас-

стояние между шариком и отверстием

равно R, а проекция началь-

ной скорости

шарика на перпендикуляр

к направлению нити равна %.

Ответ: В полярных

координатах (если

принять отверстие за на-

чало координат

и угол

ср0 равным нулю):

Т

^ — а '

У Д — at'

"giR—ut)" '

„

г

4тМ3

m

сила притяжения Земли Солнцем равна

- = ~ • -j,

где

г—расстояние

Земли

от

Солнца.

Ответ: М = 1 9 7 . 1 0 3 1

г.

28.16

(748). Точка

массы от, подверженная действию центральной

силы F,

описывает

лемнискату

г2 = a cos 2ср, где а—величина

постоян-

ная,

г — расстояние

точки

от

силового центра; в

начальный момент

г =

го, скорость точки

равна

v0 и составляет угол а с прямой, соеди-

няющей точку с силовым центром. Определить величину

силы F,

зная, что

она зависит только от расстояния г.

По формуле Бияе F —

г \'wra ' "^

/> г д е

с — удвоенная

секторная

скорость точки.

Ответ: Сила притяжения

F=-^-

rji>o sin8 a.

28.17 (749). Точка М, масса которой

т, движется

около непо-

движного центра О под влиянием силы

F,

исходящей из этого центра

и зависящей

только

от

расстояния МО —г.

Зная,

что скорость точки

ii =

ajr,

где

а — величина

постоянная, найти величину силы F

и траек-

торию

точки.

Ответ:

Сила притяжения

F— —$-•>

траектория — логарифмиче-

ская спираль.

кубу

расстояния

точки

от

центра

силы, при

следующих

данных:

на расстоянии, равном

1 см,

сила равна

1 дине; в начальный момент

расстояние

точки

от

центра

го = 2

см,

скорость

ио =О,5 см/сек и

составляет

угол

45° с направлением

прямой, проведенной из центра

к точке.

Ответ: г =

2еи;

г2

= 4 4-^|/ Г 2.

28.19 (753). Частица М с массой 1 г притягивается к неподвиж-

ному центру О силой, обратно пропорциональной

пятой степени рас-

стояния; эта

сила

равна

8 дин при расстоянии, равном 1 см. В началь-

ный

момент

частица

находится

на расстоянии

ОМ0 = 2 см

и имеет

скорость, перпендикулярную к ОМ0

и равную г>0=0,5 см/сек. Опре-

делить траекторию частицы.

Ответ: Окружность радиуса 1 см.

28.20 (754).

Точка

массы 20

г,

движущаяся

под влиянием силы

притяжения

к неподвижному

центру

по

закону

тяготения

Ньютона,