воздуха, определить, насколько отклонится снаряд от цели вследствие вращения Земли. Стрельба происходит на северной широте Я=60°.
Ответ: Снаряд отклонится вправо (если смотреть на него сверху перпендикулярно к скорости) на величину
inA=22,7 м
независимо от направления стрельбы.
33.18 (877). Маятник на длинной нити получает небольшую начальную скорость в плоскости север — юг. Считая отклонения маятника малыми по сравнению с длиной нити и принимая во внимание вращение Земли вокруг оси, найти время, по истечении которого плоскость качаний маятника совпадет с плоскостью запад — восток. Маятник расположен на 60° северной широты.
Ответ: Т= 13,86(0,5 + k) часов, где А= 0, 1, 2, 3, ...
ГЛАВАХ ДИНАМИКА СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
§ 34. Геометрия масс: центр масс материальной системы, моменты инерции твердых тел
34.1. Коленчатый вал трехцилиндрового двигателя, изображенный |
||||||||
на чертеже, состоит из трех колен, расположенных |
под углом |
120° |
||||||
друг |
к другу. Определить по- |
|||||||
ложение |
центра |
масс коленча- |
||||||
того |
вала, |
считая, |
что |
массы |
||||
колен |
сосредоточены в точках |
|||||||
А, В и D, причем |
/яд = /«в = |
|||||||
= |
/пр — т, |
|
и |
|
пренебрегая |
|||
массами остальных частей вала. |
||||||||
Размеры |
указаны |
на чертеже. |
||||||
|
Ответ: Центр масс совпа- |
|||||||
дает с началом координат О. |
||||||||
|
34.2. Найти уравнения дви- |
|||||||
жения центра масс шарнирного |
||||||||
параллелограмма ОАВОЬ |
а так- |
|||||||
же |
уравнение |
траектории его |
||||||
центра |
масс |
при |
вращении |
|||||
кривошипа |
ОА |
с |
постоянной |
|||||
угловой |
скоростью |
о>. Звенья |
||||||
параллелограмма — однородные |
||||||||
стержни, |
причем |
ОА = ОХВ = |
||||||
|
АВ |
|
|
|
|
|
|
|
К |
задаче 34.1. |
|
|
Ответ: |
|
|
|
|
|
; ==д -f- -г a cos <at, |
у с = |
||||
|
|
|
|
|
|||
= -j-a sin a>t] |
уравнение траектории |
-afi+yb |
= (-га) |
— окруж- |
|||
|
3 |
с центром |
в точке |
К с координатами (а, 0). |
|||
ность радиуса -^ а |
|||||||
34.3. К ползуну / весом |
Pi |
посредством тонкой невесомой нити |
|||||
прикреплен груз |
// весом |
Р? . |
При |
колебаниях |
груза по закону |
||
266
<p = (posinorf |
ползун |
скользит по неподвижной |
горизонтальной глад- |
кой плоскости. |
|
|
|
Найти уравнение движения ползуна хг—/(г), |
считая, что в началь- |
||
ный момент |
(^= 0) |
ползун находился в начале отсчета О оси х. |
|
Длина нити равна /. |
|
|
|
Ответ: х |
х = — |
р |
|
* /sin(roosincoO. |
|
||
|
|
|
|
В
-•Г
Кзадаче 34.2.
34.4.Определить положение центра масс центробежного регулятора, изображенного на чертеже, если вес каждого из шаров А и В
равен Рх, вес муфты D равен Р2 . Шары А а В считать точечными массами. Массой стержней пренебречь.
Ответ: хс = 0, ус |
= 2 ^ р = г l c o s Ф- |
|
|
|
34.5 (950). Определить траекторию центра масс механизма эллип- |
||||
сографа, состоящего |
из муфт А а В |
весом Q каждая, кривошипа |
||
|
ОС весом |
Р |
и линейки АВ весом |
2Р; |
'J^ х |
дано: ОС = АС — СВ — 1. Считать, |
что |
||
|
линейка |
и |
кривошип представляют |
|
11 |
однородные стержни, а муфты — точеч- |
|||
|
ные массы. |
|
|
|
К задаче 34.4. |
К задаче 34.5. |
Ответ: Окружность с центром в точке О и радиусом, равным
5P + 4Q I
3P + 2Q 2 '
34.6.Кривошипно-шатунный механизм приводится в движение
посредством |
кривошипа |
ОА |
весом Рх |
и длиной г, |
вращающегося |
с постоянной угловой |
скоростью ©. Написать уравнения движения |
||||
центра масс |
механизма, |
если |
вес шатуна |
АВ длиной |
/ (г <^ /) равен |
Р2, а вес ползуна В равен Р3 . |
|
|
|||
267
|
if |
У к а з а н и е . |
Выражение у \—A,2 sin2 Ы, где X = rfl, следует разложить |
ряд и отбросить |
все члены ряда, содержащие А,2, в степени выше второй. |
Ответ |
— X2) |
34.7. Кривошип ОА весом Рх и длиной г механизма, изображенного на чертеже, вращает зубчатое колесо М весом Р% и радиуса г, находящееся во внутреннем зацеплении с неподвижным зуб-
чатым колесом L радиуса 2г.
Кзадаче 34.6.
Кзубчатому колесу М шарнирно прикреплена рейка BDвесом Р3 и длиною I, движущаяся в прямолинейных горизонтальных направляющих. Кривошип ОА и рейку BD считать однородными стержнями. Центр тяжести колеса М находится в точке А. Определить положение центра масс механизма.
Ответ: хс 2(Pi ДД + |
Р1+а ) |
Г С ° 8 ф ; |
34.8. Вычислить момент |
инерции стального |
вала радиуса 5 см и |
массой 100 кг относительно |
его образующей. Вал считать однородным |
|
сплошным цилиндром. |
|
|
Ответ: 3750 кгсм%.
34.9. Вычислить момент инерции тонкого однородного полудиска
весом |
Р и радиуса г относительно оси, проходящей вдоль диаметра, |
||
ограничивающего полудиск. |
|
||
г, |
Рг* |
|
|
Ответ: - j - . |
|
|
|
34.10. Вычислить осевые Jx я Jy |
моменты инерции изображенной |
||
на чертеже однородной прямоугольной пластинки весом Р относительно |
|||
осей х и у. |
|
|
|
|
АР |
4 Р |
|
|
IxZ=JYa' |
Jy=JJb' |
|
268
34.11. Вычислить моменты инерции изображенного на чертеже однородного прямоугольного параллелепипеда весом Р относительно осей X, у и z.
Ответ: Jx = £- (а2 + 4с*Ъ Jy = £ (2>2+ 4с»); Jz = | - (а2 + Ь>).
К задаче 34.10. |
К задаче |
34.11. |
К |
задаче 34.12. |
|
34.12. В тонком однородном круглом |
диске радиуса |
R высверлено |
|||
концентрическое отверстие |
радиуса |
г. |
Вычислить момент |
инерции |
|
этого диска весом Р относительно |
оси г, проходящей |
через его |
|||
центр тяжести перпендикулярно к плоскости диска. |
|
|
|||
Р |
|
|
|
|
А |
Ответ: Je = -^- {R2 -+• г2) • |
|
~ |
|
|
|
* 34.13. Вычислить момент инерции тонкой однородной пластинки весом Р, имеющей форму равнобедренного треугольника с высотой h, относительно оси, проходящей через ее центр тяжести С параллельно основанию.
Ответ: -^ — h2.
18 g
/\
Кзадаче 34.13.
34.14. Вычислить момент инерции пластинки, рассмотренной в предыдущей задаче, относительно оси, проходящей через ее вершину
параллельно основанию.
р
Ответ: ~— /г2.
34.15.Сохранив данные задачи 34.13, вычислить момент инерции пластинки относительно оси, проходящей через вершину А перпендикулярно к ее плоскости, если основание BD = a.
34.16.Вычислить моменты инерции относительно трех взаимно перпендикулярных осей х, у и z тонкой однородной эллиптической
пластинки весом Р, ограниченной контуром - ^ -f- 73-= 1.
Ответ: Jx — — l |
-a* J,=-r |
269
34.17, Определить момент инерции однородного полого шара массы М относительно оси, проходящей через его центр тяжести.
Внешний и внутренний |
радиусы соответственно равны R и г. |
|
Ответ: -=- М |
[ ^ |
'» |
|
-Л |
К задаче 34.16. |
К задаче 34.18. |
34.18. Вычислить момент инерции однородной тонкой оболочки, выполненной в виде полусферы радиуса R, относительно оси, проходящей через центр полусферы перпендикулярно к ограничивающей ее плоскости. Масса М оболочки равномерно распределена по поверхности полусферы.
2 '
Ответ:
34.19. Вычислить радиус инерции сплошного однородного цилиндра относительно оси z, перпендикулярной к оси цилиндра и отстоящей от его центра тяжести С на расстоянии 10 см, если радиус цилиндра равен 4 см, а высота, 40 см.
Ответ: 15,4 см.
?
К задаче 34.19. |
К |
задаче 34.20. |
|
К задаче 34.21. |
|
34.20. На вал весом 60 кГ |
насажено маховое колесо А весом I r |
||||
и шестерня |
В весом 10 кГ. |
|
Радиус вала |
равен |
5 см, махового |
колеса — 1 м |
и шестерни — 10 см. |
Вычислить |
момент |
инерции системы |
|
относительно ее оси вращения z. Вал считать сплошным однородным цилиндром, шестерню — сплошным однородным диском. Масса маховика равномерно распределена по его ободу.
Ответ: 102 кГ м сек1.
270