Материал: Методическая разработка к контрольной работе № 3 по дисциплине «Математика» для студентов направлений подготовки бакалавров. Горбунов В.В., Костина Т.И

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

p(x=0) = C

0 0,80(1 0,8)3 =

0,800,23 = 0,008.

3!0!

Аналогично найдем p (x=1) – в результате трех вы-

стрелов будет одно попадание

p(x=1)= C1

0,810,22

0,8 0,4 = 0,096;

2!1!

p(x=2)= 0,384; p(x=3)=0,512.

Ряд распределения будет иметь вид

0,008

0,096

0,384

0,512

Математическое ожидание М [Х] и дисперсию D [Х] определим по формулам

	n
М [X] =	хipi =0,096 + 2 0,384 + 3 0,512 = 2,4 ;
	i 1
	n
D [X] =	(хi -M[X])2 p i ; или

i 1

D [X] = M[X2] – (M[X] )2.

Предварительно построим ряд распределения случайной величины X2

xi 2	0	1	4	9
pi	0,008	0,096	0,384	0,512

M[X2] = 0,096 + 4 0,384 + 9 0,512 =6,24.

D [X]=6,24 – (2,4)2 = 0,48.

Пример 12. Дана плотность распределения

	a	x 1,1 ,


f (x) 1 x2 ,
	0,	x 1,1

случайной величины Х. Найдите параметр а, функцию распределения случайной величины, математическое ожидание М[X], дисперсию D [X], вероятность выполнения неравенства

0 < X< 1 .

Решение. Для определения параметра а воспользуемся основным свойством плотности распределения

f (x) dx =1, т.к. при x [ 1,1] плотность вероят-

ности равна нулю, то получим равенство

a dx =1,

1 1 x2

Вычислим интеграл

a arctgx 1 a arctg1

Поэтому a 1, отсюда

	a	dx=
1 x2		dx=
1 x2

arctg( 1) a			(	)	a
arctg( 1) a			(	)	a
		4	4		2

a 2 .

Функция распределения связана с функцией плотности соотношением

F(x) = f (x) dx.


	x
1) х< 1,	F(x) = 0 dx=0;

	30

																1									2			x			dx
2)	1 x<1,										F(x) =										0 dx+				2						dx
2)	1 x<1,										F(x) =										0 dx+													2
						x																						11 x
	2								2											2														2						1
	2								2											2														2						1
		arctgx			1							arctgx										arctg( 1)													arctgx							;
		arctgx										arctgx										arctg( 1)													arctgx							;
																																								2
												1						2		1				dx							x
3) х 1,					F(x) = 0dx													2						dx						0dx 1.
3) х 1,					F(x) = 0dx																					2				0dx 1.
																					11 x									1
																						0								,					x 1,
																													1
Таким образом,											F(x) =						2			arctgx									1	,				1 x 1,
Таким образом,											F(x) =									arctgx										,				1 x 1,
																						1					2			,						x 1.
																						1								,						x 1.
		Математическое ожидание М[Х]																																и дисперсию D[Х] оп-
ределим по формулам

			М [X] =												х f (x) dx,											D [X] =												(х M[X])2 f (x) dx.

В нашем случае
			2	1					x							1				1			d(1 x2)											1			x		2	1	1
М[X]=														d x=																		=			ln						1 0,
							1 x2																	1 x2
							1 x2																	1 x2
				1															1
			2	1					x2							2				1							2			1				dx
D	[X] =													dх =									dх		–													=
D	[X] =							1 x2						dх =									dх		–								1 x2					=
				1																1										1
	2	x arctgx									1			2																				4
	2										1			2																				4
																2 (								(							))						1.
																2 (						4		(							))						1.
										1												4					4
		Вероятность выполнения неравенства																																					0 < X <1 опреде-
лим по формуле
									1
Р( 0 < X <1) =													f (x) dx = F (1) – F (0) = 1–1/2= 1/2.
									0

Пример 13. Найдите вероятность попадания в данный интервал (15,25) нормально распределенной случайной вели-

чины, если известны ее математическое ожидание а = 20 и среднее квадратическое отклонение = 5.

Решение. Для определения искомой вероятности воспользуемся формулой

							a		a
Р ( Х ) = Ф								Ф		.
Р ( Х ) = Ф								Ф		.

	1		x		t2
Здесь (x)			e			dt- функция Лапласа, значения которой
				2
				2
	2
	2	0

определяются по таблице. Учитывая, что функция Ф(х) нечетная, получим


	25 20			15 20
Р (15 Х 25 ) = Ф			Ф		=

		5		5
= Ф (1 ) Ф ( 1) = 2 Ф (1)= 2 0,34 = 0,68.
Пример 14. Определить доверительный интервал для
оценки с надежностью =0,95		неизвестного математического
ожидания а нормально	распределенного признака Х гене-
ральной совокупности, ,	если	известно		выборочное	среднее

хв = 14, объем выборки n = 25 и генеральное среднее квадра-

тическое отклонение = 5.

Решение. Требуется найти доверительный интервал

хв -- t( /n) < a < хв + t( /n) (*)

Здесь t – значение аргумента функции Лапласа Ф (t). при котором 2 Ф (t)= . Все величины кроме t известны. Найдем t

из соотношения Ф (t)= 0,95/2= 0,475. По таблице функции Ла-

пласа, зная ее значение, находим значение аргумента t			=1,96.
Подставив t =1,96, = 5, n = 25,	хв	= 14 в (*),	оконча-
тельно получим искомый доверительный интервал
12,04< a < 15,96.
32

ПРИЛОЖЕНИЕ

						1				x2
	Таблица значенийфункции (x)								e 2 ,		( x) (x)

							2
							2
x	0	1	2	3	4	5		6				7	8	9
0,0	0.3989	3989	3989	3988	3986	3984		3982				3980	3977	3973
0,1	3970	3965	3961	3956	3951	3945		3939				3932	3925	3918
0,2	3910	3902	3894	3885	3876	3867		3857				3847	3836	3825
0,3	3814	3802	3790	3778	3765	3752		3739				3726	3712	3697
0,4	3683	3668	3653	3637	3621	3605		3589				3572	3555	3538
0,5	3521	3503	3485	3467	3448	3429		3410				3391	3372	3352
0,6	3332	3312	3292	3271	3251	3230		3209				3187	3166	3144
0,7	3123	3101	3079	3056	3034	3011		2989				2966	2943	2920
0,8	2897	2874	2850	2827	2803	2780		2756				2732	2709	2785
0,9	2661	2637	2613	2589	2565	2541		2416				2492	2468	2444
1,0	0.2420	2396	2371	2347	2323	2299		2275				2251	2227	2203
1,1	2179	2155	2131	2107	2083	2059		2036				2012	1989	1965
1,2	1942	1919	1895	1872	1849	1826		1804				1781	1758	1736
1,3	1714	1691	1669	1647	1626	1604		1582				1561	1539	1518
1,4	1497	1476	1456	1435	1415	1394		1374				1354	1334	1315
1,5	1295	1276	1257	1238	1219	1200		1182				1163	1145	1127
1,6	1109	1092	1074	1057	1040	1023		0906				0989	0973	0957
1,7	0940	0925	0909	0893	0878	0863		0848				0833	0818	0804
1,8	0709	0775	0761	0748	0734	0721		0707				0694	0681	0669
1,9	0656	0644	0632	0620	0608	0596		0584				0573	0562	0551
2,0	0.0540	0529	0519	0508	0498	0488		0478				0468	0459	0449
2,1	0440	0431	0422	0413	0404	0396		0387				0379	0371	0363
2,2	0355	0374	0334	0332	0325	0317		0310				0303	0297	0290
2,3	0283	0277	0270	0264	0258	0252		0246				0241	0235	0229
2,4	0224	0219	0213	0208	0203	0198		0194				0189	0184	0180
2,5	0175	0171	0167	0163	0158	0154		0151				0147	0143	0139
2,6	0136	0132	0129	0126	0122	0119		0116				0113	0110	0107
2,7	0104	0101	0099	0096	0093	0091		0088				0086	0084	0081
2,8	0079	0077	0075	0073	0071	0069		0067				0065	0063	0061
2,9	0060	0058	0056	0055	0053	0051		0050				0048	0047	0046
3,0	0.0044	0043	0042	0040	0039	0038		0037				0036	0035	0034
3,1	0033	0032	0031	0030	0029	0028		0027				0026	0025	0025
3,2	0024	0023	0022	0022	0021	0020		0020				0019	0018	0018
3,3	0017	0017	0016	0016	0015	0015		0014				0014	0013	0013
3,4	0012	0012	0012	0011	0011	0010		0010				0010	0009	0009
3,5	0009	0008	0008	0008	0008	0007		0007				0007	0007	0006
3,6	0006	0006	0006	0006	0005	0005		0005				0005	0005	0004
3,7	0004	0004	0004	0004	0004	0004		0003				0003	0003	0003
3,8	0003	0003	0003	0003	0003	0002		0002				0002	0002	0002
					33

Источник: https://studfile.net/preview/16564430/

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности
'Просвещенный абсолютизм' Екатерины II и его влияние на развитие русской культуры
'Создание и продвижение интернет - платформы реферальной системы' на примере компании Бартер–кард