Материал: Методическая разработка к контрольной работе № 3 по дисциплине «Математика» для студентов направлений подготовки бакалавров. Горбунов В.В., Костина Т.И
Решение. Данное тело изображено на рис. 5. На рис. 6 изображена проекция этого тела на плоскость Оху.
z |
у |
1
x+y+z=1 |
1 |
x+y=1 |
|
|
|
|
|
D |
y |
0 |
х |
1 |
1 |
1
x
Рис. 5 |
Рис. 6 |
V= dxdydz , где (V) – область, ограниченная поверхностя-
V
миx 0, y 0, z 0 (координатные плоскости), x y z 1
(плоскость, отсекающая на координатных осях отрезки, равные 1), т. е. область (V) есть пирамида. Из чертежа видно, что по любой из переменных можно с одинаковым успехом брать постоянные пределы, и они равны 0 и 1. Возьмем, например, постоянные пределы по х (0 õ 1). Проекцией пирамиды на плоскость Оху является треугольник, ограниченный прямыми x 0, y 0 и x y 1 (рис. 6). Отсюда определяем пределы интегрирования по у (0 ó 1 õ). Для переменой z нижним пределом будет, очевидно, z 0 (плоскость Оху), а верхним – значение z, полученное из уравнения плоскости
x y z 1, т. е. z 1 x y.
24
Определив пределы интегрирования по каждой переменной, можем представить данный тройной интеграл через
повторный и вычислить объем тела:
|
|
|
1 |
1 x |
|
1 y x |
1 |
|
1 x |
|
1 y x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
V dx dy |
dz dx z |
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
y |
2 |
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
dx 1 y x dy y |
|
|
xy |
|
dx |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
0 |
1 x |
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 x |
1 |
|
|
x |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 x |
|
x 1 x dx |
|
|
x |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
dx |
|
dx xdx |
x2dx |
|
|
|
||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
x x2 dx
|
1 |
x |
x |
2 |
|
x |
3 |
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
êóá. åä |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
2 |
6 |
|
|
0 |
2 2 |
6 |
6 |
|
||||||||
|
|
|||||||||||||||||
Пример 8. Два стрелка производят по одному выстрелу по одной мишени. Первый попадает в мишень с вероятностью 0,8, второй - с вероятностью 0,6. Найдите вероятность того, что: а) оба стрелка попадут в мишень, б) оба стрелка промахнутся, в) только один стрелок попадет, г) хотя бы один стрелок попадет в мишень.
Решение. Пусть событие А означает, что первый стрелок попал в мишень, событие В - попал второй. По условию Р(А) = 0,8, Р(В) = 0,6.
а) Пусть событие С - оба стрелка попали в мишень, тогда С = АВ. Поэтому, учитывая независимость событий А и В, по теореме умножения вероятностей имеем
Р(С) = Р(АВ) = Р(А) Р(В) = 0,8 0,6 = 0,48.
б) Перейдем к противоположным событиям, которые со-
стоят в том, что первый стрелок промахнулся A, второй стре-
25
лок промахнулся B. Тогда событие D = A B |
означает, что |
||||||||||||||||||
оба стрелка промахнулись. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Р(D) = Р( |
A |
|
B |
) = Р( |
A |
) P ( |
B |
)= (1 – Р(А)) ( 1 – Р(В)) = |
|||||||||||
=0,2 0,4 |
= 0,08. |
|
|
|
Е – только один стрелок попал – можно |
||||||||||||||
в) |
Событие |
||||||||||||||||||
представить в виде |
|
Е = А |
B |
+ В |
A |
. События |
А |
B |
и В |
A |
|
||||||||
несовместные. Поэтому, применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получим
Р(Е) = Р(АB +В A) = P (АB)+Р(В A) =
= P (А)Р(B)+Р(В)Р( A) = 0,8 0,4 + 0,6 0,2 = 0,44.
г) Вероятность появления хотя бы одного из совместных событий А, В равна разности между единицей и вероятностью
произведения противоположных событий |
A, B. Пусть со- |
||||||||
бытие F – хотя бы один стрелок попал. Тогда |
|
||||||||
Р(F) = 1 – Р( |
A |
|
B |
) = 1 – Р( |
A |
) P ( |
B |
) = 1 – |
0,2 0,4 = 0,92. |
Пример 9. В первой урне 2 белых и 3 черных шара, во второй - 7 белых и 1 черный. Из первой урны в первую переложили 2 шара, затем наудачу извлекли шар из второй урны. Найти вероятность того, что выбранный из второй урны шар - белый.
Решение. Если событие А может произойти только со-
вместно с одним из событий Н1 , Н2 , ..., Нk , образующих пол-
ную группу несовместных событий (гипотез), то вероятность Р(А)появления события определяется по формуле полной веро-
k
ятности: Р (А) = Р(Hi ) Р(А/Hi ), где Р(Hi ) - вероят- i 1
ность гипотезы Hi , Р(А/Hi ) - условная вероятность события
А при этой гипотезе.
Вероятность извлечения белого шара из второй урны после добавления двух шаров из первой урны зависит от со-
26
става шаров (по цвету) в этой урне. При этом возможны следующие гипотезы:
Н1 - из первой урны во вторую переложены два белых
шара,
Н2- из первой урны во вторую переложен один белый и один черный шар,
Н3 - из первой урны во вторую переложены два черных
шара.
Найдем вероятности этих гипотез . Вероятность каждой гипотезы связана с вероятностью извлечения соответствующих шаров из первой урны. Тогда получим
Р (Н1 ) = |
|
C |
2 |
|
|
|
1 2!3! |
= 0,1, |
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
C52 |
5! |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Р (Н2) = |
C21C31 |
|
|
|
|
|
2! 3! 2! 3! |
= 0,6, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
C52 |
|
|
|
|
|
1!1!1! 2! 5! |
|||||||||
Р (Н3) = |
|
|
C2 |
|
|
|
3! 2!3! |
|
|
= 0,3. |
|||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
C52 |
|
|
2!1!5! |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пусть А - событие, состоящее в извлечении белого шара из второй урны, если предварительно имела место одна из гипотез Нi. Условные вероятности события А будут :
Р(А/H1) = 9/10, Р(A/Н2) = 8/10, Р(A/Н3) = 7/10.
По формуле полной вероятности найдем вероятность извлечения белого шара из второй урны
Р(А) = Р(H1) Р(А/H1) + Р(H2) Р(А/H2) + Р(H3) Р(А/H3) = = 0,1 0,9 + 0,6 0,8 + 0,3 0,7 = 0,78.
Пример 10. Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго - 0,5, для третьего - 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность, что выстрелы произведены первым стрелком.
27
Решение. Если вероятности гипотез до опыта были Р
(Н1), Р (Н2) , ..., Р(Нn), а в результате опыта появилось со-
бытие А , то условная вероятность Р(Нk /A) с учетом появле-
ния события А вычисляется по формуле Бейеса:
Р(Нk /A) = |
P(Hk )P(A/Hk ) |
n |
|
|
P(Hi)P(A/Hi ) |
|
i 1 |
Возможны три гипотезы: H1 - на линию огня вызван первый стрелок; H2 - на линию огня вызван второй стрелок; H3 - на линию огня вызван третий стрелок. Так как вызов на линию огня любого стрелка равновозможен, то вероятности этих гипотез до опыта Р(H1) = Р(H2) = Р(H3) = 1/3.
В результате опыта наблюдалось событие А - после произведенных двух выстрелов мишень не поражена. Условные вероятности этого события
Р(А/H1) = 0,7 0,7 = 0,49; |
Р(А/H2) = 0,5 0,5 = 0,25; Р(А/H3) = |
0,2 0,2 = 0,04. |
|
По формуле Бейеса для частного случая, когда вероятности гипотезы опыта равны между собой, находим вероятность
гипотезы Н1 после опыта: |
|
|
|
|
|
Р(H1/A) = |
0,49 |
|
|
0,49 |
= 0,628 |
0,49 0,25 |
0,04 |
|
|||
|
0,78 |
|
|||
Пример 11. Вероятность попадания в цель у стрелка р = 0,8. Производится три выстрела. Построить ряд распределения случайной величины Х – числа попаданий в цель. Найти математическое ожидание М [X] и дисперсию D [X].
Решение. Случайная величина Х может принимать значения : 0, 1, 2, 3. Вероятность того, что попаданий не будет
р (х=0) найдем по формуле Бернулли Pn (k) = Cnk pk qn k ,
здесь p = 0,8, q = 1- p= 0,2, n = 3, k = 0.
28