Материал: Методическая разработка к контрольной работе № 3 по дисциплине «Математика» для студентов направлений подготовки бакалавров. Горбунов В.В., Костина Т.И
16.Условные вероятности. Теоремы умножения вероят-
ностей.
17.Формула полной вероятности. Вероятность гипотез. Формула Байеса.
18.Повторные испытания. Формула Бернулли. Локальная
иинтегральная теоремы Лапласа.
19.Случайные величины. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Функция распределения случайной величины. Биномиальное распределение, распределение Пуассона.
20.Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины.
21.Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли.
22.Непрерывные случайные величины. Интегральная и дифференциальная функции распределения вероятностей. Закон равномерного распределения вероятностей.
23.Нормальное распределение.
24.Генеральная и выборочная совокупности. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.
25.Статистические оценки параметров распределения. Генеральная и выборочная средняя. Генеральная и выборочная дисперсия.
26.Доверительный интервал и доверительная вероят-
ность.
ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
При выполнении контрольных работ требуется строгое соблюдение указанных ниже правил.
1.Контрольная работа выполняется в тетради в клетку чернилами любого цвета кроме красного. Необходимо оставлять поля для замечаний рецензента.
2.На обложке контрольной работы должны быть написаны фамилия и инициалы студента, шифр, название дисципли-
4
ны, номер и вариант контрольной работы, адрес студента. В конце работы ставится дата ее выполнения и подпись студента
3.В работу включаются все задачи, указанные в задании,
истрого по положенному варианту.
4.Решения задач располагаются в порядке возрастания их номеров, указанных в задании, сохраняя номера задач.
5.Условия задач приводятся полностью. Решения излагаются подробно и аккуратно, объясняются все действия.
6.После получения проверенной работы исправляются все отмеченные рецензентом ошибки и выполняются все рекомендации рецензента.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 3
1. Дайте |
определение двойного интеграла |
в пря- |
моугольной |
системе координат. |
|
2.Запишите формулу преобразования двойного интеграла от прямоугольных координат к полярным координатам.
3.Запишите формулу вычисления площади плоской фигуры и объема тела с помощью двойного интеграла.
4.Дайте определение тройного интеграла в прямоугольной системе координат.
5.Запишите формулу вычисления объема тела с помощью тройного интеграла.
6.Запишите формулу преобразования тройного интеграла от прямоугольных координат к цилиндрическим и сферическим координатам.
7.Дайте классическое определение вероятности. В чем состоит различие между вероятностью и относительной частотой?
8.Дайте определение суммы и произведения событий. Сформулируйте теоремы сложения и умножения вероятностей.
9.Запишите формулу полной вероятности.
5
10.Приведите формулу Байеса.
11.Дайте определение последовательности независимых испытаний. Запишите формулу Бернулли.
12.Дайте определение случайной величины.
13.Дайте определение функции распределения и плотности распределения случайной величины. Сформулируйте их свойства. Приведите примеры.
14.Дайте описание дискретных и непрерывных распределений: равномерное, биномиальное, нормальное.
15.Как найти вероятность попадания случайной величины
взаданный интервал, если она распределена по нормальному или равномерному закону.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3. Кратные интегралы. Теория вероятностей и математическая статистика
Задача № 1
Изменить порядок интегрирования.
|
1 |
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|||||||||
1. |
dy |
|
|
|
f (x, y) dx dy f (x, y) dx. |
||||||||||||
|
2 |
2 y |
|
|
|
1 |
|
|
y |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
2 y2 |
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||
2. |
dy f (x, y) dx dy |
f (x, y) dx . |
|||||||||||||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
y |
|
2 |
|
|
2 y |
|||||||
3. |
dy f (x, y)dx dy f (x, y)dx . |
||||||||||||||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
||||||||
4. |
dx |
|
f (x, y) dy dx f (x, y)dy. |
||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 x2 |
|
|
|
|
1 x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
||
1 
2 y 0 
y
5. dy |
|
|
f (x, y) dx dy f (x, y)dx |
|||||||||||||||||||||||
2 |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
arcsiny |
|
1 |
|
|
|
|
|
arccosy |
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
6. dy |
f (x,y)dx dy |
f (x,y) dx. |
||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
e |
ln y |
|
|
|
|||||||
7. dy |
|
|
f (x, y) dx dy f (x, y) dx |
|||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
2 x2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
8. dx |
|
|
f (x, y) dy dx f (x, y) dy. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 y |
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||
9. dy f (x, y) dx dy f (x, y)dx |
||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
10. |
|
dx |
|
|
f(x,y)dy |
dx |
|
f (x,y)dy |
||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
4 x2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 x2 |
2 |
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
e |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
11. dx |
f (x, y) dy dx |
|
f (x, y) dy |
|||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
lnx |
|
|
|
||||||||||
|
4 |
|
|
sin y |
|
2 |
|
cos y |
|
|||||||||||||||||
12. |
|
dy |
f (x, y) dx dy |
f (x, y) dx. |
||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
4 |
0 |
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||
13. |
dx |
|
|
f (x, y) dy dx |
f (x, y) dy. |
|||||||||||||||||||||
|
2 |
|
2 x |
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
e |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
14. |
dy |
|
f (x, y) dx dy f (x, y) dx. |
|||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
ln y |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 2 0
|
15. |
dy |
|
|
f(x,y) dx dy |
|
f |
(x,y)dx. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
16. |
dy |
f(x,y) dx dy |
|
|
f (x,y) dx. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 y |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
17. |
dy |
f |
(x, y)dx dy f (x, y) dx. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
18. |
dx |
|
|
|
|
|
f (x,y)dy dx |
|
|
|
f(x,y) dy. |
||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
4 x2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
4 x2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
19. |
dy |
|
f (x, y) dx dy f (x, y) dx |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
20. |
dy |
|
|
|
|
f (x, y)dx dy |
|
f (x, y) dx . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
2 y |
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача № 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y x3, |
|
|
|
|
y |
|
, |
x 1, |
|
z 0, |
z x y2. |
||||||||||||||||||||||
1. |
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||
2. |
y x2, |
|
|
|
|
y 5x 6, |
z 0, |
z y2. |
||||||||||||||||||||||||||
3. |
y x2, |
|
|
|
|
y x 6, |
|
|
|
x 0, |
|
|
z 0, |
z y. |
||||||||||||||||||||
4. |
y |
8 |
, |
|
|
|
|
y x 9, |
|
z 0, |
z x. |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. |
y |
4 |
, |
|
|
|
|
y x, |
|
y 5, |
z 0, |
z x. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|