Материал: Методические указания. Использование математического моделирования при решении прикладных задач. Дежин В.В., Лапшина М.Л

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»

Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ

для организации самостоятельной работы по курсу «Математика» раздела «Теория вероятностей и мате-

матическая статистика» для студентов специальности 230201 «Информационные системы и технологии» очной формы обучения

Часть 4

A B

Воронеж 2012

Составители: канд. физ.-мат. наук В.В. Дежин, д-р техн. наук М.Л. Лапшина

УДК 517 Методические указания: Использование математического

моделирования при решении прикладных задач для организации самостоятельной работы по курсу «Математика» раздела «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов специальности 230201 «Информационные системы и технологии» очной формы обучения. Ч. 4 / ФГБОУВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. В.В. Дежин, М.Л. Лапшина. Воронеж, 2012. 52 с.

Методические указания предназначены в качестве руководства для самостоятельного изучения студентами специальности 230201 (ИС) очной формы обучения раздела «Теория вероятностей и математическая статистика» курса «Математика». Методические указания включают в себя 2 занятия и содержат ссылки на литературу, пояснения и примеры, контрольные вопросы и задачи, форму отчетности.

Предназначены для студентов четвертого семестра второго курса.

Методические указания подготовлены в электронном виде в текстовом редакторе MS Word и содержатся в файле ИС- вероятность-4.pdf.

Табл. 11. Библиогр.: 22 назв.

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доцент В.В. Ломакин

Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов

Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета

© ФГБОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2012

ЗАНЯТИЕ № 10

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

10.1. Основные понятия

Функция распределения является универсальной характеристикой случайной величины, описывающей как дискретные, так и непрерывные случайные величины. Плотность распределения вероятностей описывает только непрерывную случайную величину. Но описание случайных величин функцией распределении или плотностью распределения вероятностей, являющимся самым полным и самым подробным описанием случайной величины, достаточно сложно. Даже несложные преобразования, такие как сложение, умножение, деление случайных величин приводят к достаточно сложным преобразованиям плотности распределения вероятностей, связанным с вычислением интегралов. Кроме того, эмпирическое определение функции распределения или плотности распределения вероятностей случайной величины требует очень большого числа измерений ее значений. В связи с этим возникает необходимость в другом описании случайных величин, пусть не столь полном и характеризующем лишь некоторые их свойства, но зато более простом и требующем меньшего числа измерений при проведении экспериментальных исследований, тем более, что во многих случаях нет необходимости характеризовать случайную величину полностью. Чаще всего достаточно указать только отдельные числовые параметры, достаточно хорошо характеризующие существенные черты распределения случайной величины. Такие характеристики, дающие в сжатой форме наиболее существенные особенности распределения, называются числовыми характеристиками случайной величины. Существует большое количество различных числовых характеристик, имеющих различное назначение и различные области применения.

10.1.1.Характеристики положения случайной величины

Рассмотрим характеристики положения СВ, которые указывают число, около которого группируются все возможные значения СВ.

Важнейшей из характеристик положения, а именно среднего значения случайной величины, является математическое ожидание.

Математическим ожиданием (средним значением по распределению) называется действительное число, определяемое в зависимости от типа случайной величины X

формулой

Математическое ожидание существует, если ряд (соответственно интеграл) в правой части формулы (10.1) сходится абсолютно.

Приведем значения математических ожиданий для ДСВ и НСВ, рассмотренных в занятии № 9:

1)геометрическое распределение – M X 1p;

2)биномиальное распределение – M X np;

3)распределение Пуассона – M X ;

4)гипергеометрическое распределение – M X nMN ;

5)равномерное распределение – M X a b ;

2

6)показательное распределение – M X 1 ;

7)нормальное распределение – M X m;

8)распределение Рэлея – M X 2 ;

9)распределение по закону Симпсона – M X 0;

10)у распределения Коши математического ожидания не существует;

11)распределение Максвелла – M X 22( ) ;

12)распределение по закону арксинуса – M X 0;

13)распределение Лапласа – M X m;

15)гамма-распределение – M X ab;

16)распределение хи-квадрат – M X n;

ожидания.

1.M C C (C const ), т.е. математическое ожидание постоянной равно этой постоянной.

2.M CX C M X , т.е. постоянную величину можно

выносить за знак математического ожидания.

3. Свойство аддитивности математического ожидания. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий при условии, что математические ожидания слагаемых конечны

M X Y M X M Y .

Свойство 3 остается справедливым и в том случае, когда одна из случайных величин дискретная, а другая – непрерывная.

Из свойств 2 и 3 вытекает

Следствие (свойство линейности математического ожидания) M C1X C2Y C1M X C2M Y , где C1 и C2 – постоянные.

4. Свойство мультипликативности математического ожидания. Если случайные величины X , Y независимы и M X , M Y конечны, то

M X Y M X M Y .

Это свойство, как и предыдущее, остается справедливым и тогда, когда одна из случайных величин дискретная, а другая непрерывная.

7. Математическое ожидание отклонения случайной величины X от ее математического ожидания равно нулю

MX M X 0.

8.Если a X b, то a M X b, где a и b – посто-

янные величины.

9. Абсолютная величина математического ожидания случайной величины всегда меньше или равна математическому ожиданию абсолютного значения случайной величины

M X M X .

Кроме математического ожидания в качестве характеристик положения случайной величины применяются медиана и мода.

Медианой Me X h X (срединным значением) назы-

вается действительное число, удовлетворяющее условию

Для дискретных случайных величин медиана определяется неоднозначно и практически не употребляется. Геометрически медиана – это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная графиком плотности распределения, делится пополам.

Модой Mo X d X случайной величины непрерыв-

ного типа называется действительное число, определяемое как точка максимума плотности распределения вероятностей fX x .

Модой Mo X d X (наивероятнейшим значением)

случайной величины дискретного типа определяется как та-

кое значение случайной величины, для которого

Таким образом, мода есть наиболее вероятное значение, если такое значение единственно. Мода может не существовать, иметь единственное значение (унимодальное или одномодальное распределение) или иметь множество значений (мультимо-

дальное или многомодальное распределение).

Квантилью порядка p распределения случайной величины X непрерывного типа называется действительное число tp , удовлетворяющее уравнению

В частности, из определения медианы следует, что h X t0,5.

Критической точкой порядка p распределения слу-

чайной величины X непрерывного типа называется действительное число p , удовлетворяющее уравнению

Квантиль и критическая точка одного и того же распределения связаны простым соотношением: p t1 p .

10.1.2. Характеристики разброса значений случайной величины

Математическое ожидание является центром группирования возможных значений случайной величины. Но для полной характеристики случайной величины необходимо знать степень разброса ее значений относительно центра группирования. Для этого вводятся характеристики рассеивания. Важнейшей из них является дисперсия.

Дисперсией случайной величины X называется число D X , равное математическому ожиданию квадрата от-

клонения случайной величины от ее математического ожидания:

Если известен закон распределения случайной величины, то из определении математического ожидания следуют формулы для вычисления дисперсии

Дисперсия существует, если ряд (соответственно интеграл) в правой части формулы (10.8) сходится абсолютно.

Из свойств математического ожидания и определения дисперсии имеем

D X M X M X 2 M X2 2X M X M2 X

M X2 2M X M X M2 X M X2 M2 X . (10.9)

Приведем значения дисперсий для ДСВ и НСВ, рассмотренных в занятии № 9:

1)геометрическое распределение – D X 1 p p2 ;

2)биномиальное распределение – D X npq;

3)распределение Пуассона – D X ;

4)гипергеометрическое распределение – D X N n

N 1

5)равномерное распределение – D X b a 212;

6)показательное распределение – D X 1 2 ;

7)нормальное распределение – D X 2;

8)распределение Рэлея – D X 2 2 2 ;

9)распределение по закону Симпсона – D X a26;

10)у распределения Коши дисперсии не существует;

11)распределение Максвелла – D X 3 8 ;

12)распределение по закону арксинуса – D X a22;

13)распределение Лапласа – D X 2;

ли a 2;

15)гамма-распределение – D X ab2 ;

16)распределение хи-квадрат – D X 2n;

Рассмотрим основные свойства дисперсии.

1.D X 0 для любой случайной величины X .

2.D C 0 (C const ), т.е. дисперсия постоянной величины равна нулю.

3.D CX C2D X , т.е. постоянную величину можно

выносить за знак дисперсии, возведя ее в квадрат.

4. Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий:

D X Y D X D Y .

Следствие свойств 3 и 4. Дисперсия разности случайных величин X и Y равна сумме их дисперсий:

D X Y D X D Y .

Свойство 4 обобщается на случай суммы любого конечного числа случайных величин: дисперсия суммы конечного числа попарно независимых случайных величин X1, X2, ,

Xn равна сумме их дисперсий

D X1 X2 Xn D X1 D X2 D Xn .